Bernoullische DGL

Die Bernoullische DGL kommt öfter mal zum Einsatz, wenn es beispielsweise um das Lösen einer sogenannten "Logistischen DGL" geht. Diese Logistische DGL beschreibt Wachstumsprozesse mit einer bestimmten Obergrenze. Dabei wächst die Funktion zunächst annähernd exponentiell und ab einem gewissen Punkt setzt dann ein beschränktes Wachstum ein. Beispiele hierfür sind das Wachstum eines Baumes oder die Ausbreitung von Krankheiten. Solche DIfferentialgleichungen kannst du als Bernoullische DGL betrachten, wobei die Bernoullische DGL folgende Form hat. 

und können hier beliebige Funktionen sein und ist Element der reellen Zahlen.

Falls ist, hat die DGL die Form

und ist linear, 1. Ordnung.

Wenn , ist sie von der Form

In diesem Fall haben wir es mit einer DGL mit getrennten Variablen zu tun. Deswegen wird der Fall oft ausgeschlossen.

Auf den ersten Blick ist ersichtlich, dass die DGL löst. Weil die Nullfunktion aber jede Bernoullische DGL löst, kann man sie während des Lösungsvorgangs meist vernachlässigen.

*Herleitung von Formel in Schritt 2:

auch Anfangswertaufgabe oder Cauchy-Problem.

Häufig ist nur ein und ein (z.B. in der Form ) gegeben. 
Um ein AWP zu lösen, löst du wie gewohnt die DGL, erstmal ohne die Anfangswerte zu beachten. 
Die Parameter, die in deiner Lösung auftauchen, kannst du dann durch Einsetzen der gegebenen Anfangswerte ermitteln, indem du nach den Konstanten umstellst.

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Löse das folgende Anfangswertproblem:

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Bestimmen Sie die Lösung des Anfgangswertproblems

Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Löse die folgende DGL: