Bernoullische DGL

Die Bernoullische DGL kommt öfter mal zum Einsatz, wenn es beispielsweise um das Lösen einer sogenannten "Logistischen DGL" geht. Diese Logistische DGL beschreibt Wachstumsprozesse mit einer bestimmten Obergrenze. Dabei wächst die Funktion zunächst annähernd exponentiell und ab einem gewissen Punkt setzt dann ein beschränktes Wachstum ein. Beispiele hierfür sind das Wachstum eines Baumes oder die Ausbreitung von Krankheiten. Solche DIfferentialgleichungen kannst du als Bernoullische DGL betrachten, wobei die Bernoullische DGL folgende Form hat. 

Definition

Bernoullische DGL

Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:

und können hier beliebige Funktionen sein und ist Element der reellen Zahlen.

Falls ist, hat die DGL die Form

und ist linear, 1. Ordnung.

Wenn , ist sie von der Form


In diesem Fall haben wir es mit einer DGL mit getrennten Variablen zu tun. Deswegen wird der Fall oft ausgeschlossen.

Auf den ersten Blick ist ersichtlich, dass die DGL löst. Weil die Nullfunktion aber jede Bernoullische DGL löst, kann man sie während des Lösungsvorgangs meist vernachlässigen.

Vorgehen

Bernoullische DGL (allgemeine Lösung)

Für die allgemeine Lösung kannst du wie folgt vorgehen:

  1. Führe zuerst eine neue Variable ein.

  2. Setze diese Variable in deine Bernoullische DGL ein. Nach einigem Umformen* solltest du Folgendes erhalten:


  3. Stelle diese transformierte DGL nun folgendermaßen um: 

    Jetzt erkennst du, dass es sich hier um eine lineare DGL 1. Ordnung handelt. 

  4. Löse diese lineare DGL 1. Ordnung.

  5. Mithilfe der allgemeinen Lösung kannst du jetzt durch Rücktransformation (s. 1.) die Lösung der Bernoullischen DGL finden: 

*Herleitung von Formel in Schritt 2:

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