Bernoullische DGL

Bernoullische Differentialgleichungen haben die Form:

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.

Anfangswertproblem (AWP)

Ein Anfangswertproblem (AWP) ist einfach eine DGL, zu der Anfangswerte gegeben sind, also .

Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht

Separierbare DGL 1. Ordnung

Form:

Lösung mithilfe Trennung der Variablen:

Durch Substitution lösbare DGL
Form: mit
Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen:

Substituiere: , somit ist
Dann ist
Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von . Die Rücksubstitution liefert dir dann

Lineare DGLs

Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 
1. der allgemeinen Lösung  der zugehörigen homogenen DGL
2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen: 

Homogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Die allgemeine Lösung lautet:

, wobei und .

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
Form:
Lösung durch Variation der Konstanten:

, wobei und

Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Form: , wobei
Allgemeine Lösung der homogenen DGL:

Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: 

1. Wenn von der Form:
   Ansatz:
   
   
2. Wenn von der Form: und
   Ansatz:
   
   
3. Wenn von der Form: und
   Ansatz:
   
   
4. Wenn von der Form:
   Ansatz:

Die allgemeine Lösung ist dann:

Bernoullische DGL (allgemeine Lösung)

Für die allgemeine Lösung kannst du wie folgt vorgehen:

1. Führe zuerst eine neue Variable ein.
   
   
2. Setze diese Variable in deine Bernoullische DGL ein. Nach einigem Umformen* solltest du Folgendes erhalten:
   
   
   
3. Stelle diese transformierte DGL nun folgendermaßen um: 
   
   Jetzt erkennst du, dass es sich hier um eine lineare DGL 1. Ordnung handelt. 
   
   
4. Löse diese lineare DGL 1. Ordnung.
   
   
5. Mithilfe der allgemeinen Lösung kannst du jetzt durch Rücktransformation (s. 1.) die Lösung der Bernoullischen DGL finden: 
   

Typen von DGLs

Triviale Differentialgleichung

Getrennte Variablen

Linear 1. Ordnung

Euler-homogen

Lineare Transformation

Gebrochen rationale Transformation

Linear höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Bernoulli

Ricatti

Anfangswertproblem lösen

1. Löse die DGL.
   
   
2. Stelle die Lösung deiner DGL nach dem unbekannten Parameter um.
   Falls die Parameter sich nicht zusammenfassen lassen, musst du das lineare Gleichungssystem mit mehreren Variablen lösen. 
   
   
3. Setze den Anfangswert ein und berechne die Parameter.
   
   
4. Setze die berechneten Parameter in deine Lösung ein.

Kategorien von DGLs

gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen

Beispiel:

partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen

Beispiel:

Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung

Beispiel: (diese DGL ist 2. Ordnung).

lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen

Beispiel:

nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet

Beispiel:

homogene DGL: es gibt keinen Term ohne (die gesuchte Funktion oder ihre Ableitungen)

Beispiel:

inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne )

Beispiel:

explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).