Differentialgleichungen

Man spricht von einem bestimmt Typ einer DGL, wenn sie in einer bestimmten Form auftritt oder in diese Form umgestellt werden kann.

Je nach Typ ergibt sich ein anderer Lösungsansatz oder ein spezielles Lösungsverfahren für die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Hier hast du eine Übersicht über ein paar wichtige Typen:

Kategorisierung von Differentialgleichungen

Gewöhnlich - Partiell

Die gesuchte Funktion einer gewöhnlichen DGL hängt nur von einer Variablen ab, es kommen also keine partiellen Ableitungen vor.
Beispiel:
Die gesuchte Funktion einer partiellen DGL hängt von mehreren Variablen ab und beinhaltet partielle Ableitungen.
Beispiel:

Ordnung

Die Ordnung einer DGL erkennst du ganz einfach an der höchsten Ableitung, die in der Gleichung vorkommt. 
ist beispielsweise eine (gewöhnliche) DGL 2. Ordnung, weil die höchste vorkommende Ableitung 2. Ordnung ist.

Linear - Nicht linear

Bei einer linearen DGL kommen nur Linearkombiniationen der einzelnen Funktionsterme vor. Die lineare DGL ist also von der Form

Beispiel: ist eine (gewöhnliche) lineare DGL (2. Ordnung). 
Auch ist eine lineare DGL, obwohl der Koeffizient eine nicht-lineare Funktion ist. Es geht also wirklich nur darum, ob ein in einer nicht-linearen Funktion steckt!
Falls die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen in eine nicht-lineare Funktion (z.B. oder ) verstrickt ist, dann ist die DGL nicht-linear. 
Beispiel: ist also eine nicht-lineare DGL (erster Ordnung).

Homogen - Inhomogen

Diese Kategorisierung gibt es nur für lineare Differentialgleichungen!
Wenn Funktionsterme existieren, die von der Form sind, die also nicht die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen beinhalten, dann ist die DGL inhomogen. 
Beispiel: . Man nennt auch die Störfunktion.
Wenn , also alle vorkommenden Funktionsterme ein oder ein beinhalten, dann ist die Funktion homogen.
Beispiel:  

Explizit - Implizit

Eine explizite DGL erkennst du ganz leicht daran, dass sie nach der höchsten Ableitung umgestellt ist. Die höchste Ableitung steht also alleine auf einer Seite der Gleichung. 
In allen anderen Fällen ist die DGL implizit, lässt sich aber oft leicht durch Umstellen in explizite Form bringen.