Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Funktion und ihre Ableitungen enthält. Die Lösung einer DGL ist also eine differenzierbare Funktion, die diese Gleichung erfüllt.
Kategorisierung von Differentialgleichungen
Gewöhnlich - Partiell
Die gesuchte Funktion einer gewöhnlichen DGL hängt nur von einer Variablen ab, es kommen also keine partiellen Ableitungen vor.
Beispiel:
Die gesuchte Funktion einer partiellen DGL hängt von mehreren Variablen ab und beinhaltet partielle Ableitungen.
Beispiel:
Ordnung
Die Ordnung einer DGL erkennst du ganz einfach an der höchsten Ableitung, die in der Gleichung vorkommt.
Linear - Nicht linear
Bei einer linearen DGL kommen nur Linearkombiniationen der einzelnen Funktionsterme vor. Die lineare DGL ist also von der Form
Beispiel:
Auch
Falls die gesuchte Funktion oder eine ihrer Ableitungen in eine nicht-lineare Funktion (z.B.
Beispiel:
Homogen - Inhomogen
Diese Kategorisierung gibt es nur für lineare Differentialgleichungen!
Wenn Funktionsterme existieren, die von der Form
Beispiel:
Wenn
Beispiel:
Explizit - Implizit
Eine explizite DGL erkennst du ganz leicht daran, dass sie nach der höchsten Ableitung umgestellt ist. Die höchste Ableitung steht also alleine auf einer Seite der Gleichung.
In allen anderen Fällen ist die DGL implizit, lässt sich aber oft leicht durch Umstellen in explizite Form bringen.
gewöhnliche DGL: nur Ableitungen von einer Variablen
Beispiel:
partielle DGL: mehrere Variablen mit partiellen Ableitungen
Beispiel:
Ordnung: Anzahl der höchsten Ableitung
Beispiel:
lineare DGL: nur Linearkombinationen der Funktion und ihrer Ableitungen
Beispiel:
nicht-lineare DGL: gesuchte Funktion hat Potenzen oder ist in anderen Funktionen verkettet
Beispiel:
homogene DGL: es gibt keinen Term ohne
Beispiel:
inhomogene DGL: es gibt Störfunktion (Term ohne
Beispiel:
explizite DGL: höchste Ableitung steht alleine auf einer Seite. (Falls nicht, implizite DGL).