Erzeugendensystem, Basis

Theorie:

Erzeugendensystem und Basis

Vorgehen

Auf Erzeugendensystem/Basis prüfen und ergänzen

Um zu prüfen, ob eine Basis bzw. Erzeugendensystem von einem gegebenen Vektorraum ist, gehe wie folgt vor:

  1. Stelle eine Matrix auf, indem du alle Vektoren als Zeilen untereinander schreibst.

  2. Untersuche die Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Bestimme hierfür den Rang der Matrix , indem du auf Zeilenstufenform bringst und die Nichtnullzeilen zählst. Der Rang entspricht der Dimension der linearen Hülle von und somit der Anzahl linear unabhängiger Vektoren.


  3. Bestimme die Dimension von und prüfe:
    • Falls , so liegt ein Erzeugendensystem vor.

    • Entspricht der Rang zusätzlich noch der Anzahl gegebener Vektoren , so bildet eine Basis. Kurz: Eine Basis liegt immer dann vor, wenn der Rang der Matrix , die Dimension des Vektorraumes und die Anzahl der gegeben Vektoren übereinstimmen. (EZS und lineare Unabhängigkeit) 

  4. Sollte es sich um keine Basis handeln, so kannst du eine passende Basis ermitteln:
    • Falls : Nutze alle gegebenen Vektoren, welche linear unabhängige sind (Nichtnullzeilen der Zeilenstufenform) und ergänze diese zu einer Basis. Dies gelingt durch Einführen weiterer linear unabhängiger Vektoren (meinst bieten sich passende Einheitsvektoren an).

    • Falls : Streiche linear abhängige Vektoren.

Tipps:

  • Sollst du lediglich prüfen, ob eine Basis vorliegt und es ist nicht nach einer Ergänzung/Kürzung gefragt, so zeige und untersuche die lineare Unabhängigkeit mit .
  • Ist keine Teilmenge von , so kann auch kein Erzeugendensystem oder Basis sein.

Aufgaben:

Aufgabe 1

Prüfe, ob eine Basis des bildet.

Aufgabe 2

Prüfe, ob eine Basis des bildet.

Aufgabe 3

Wähle aus den Vektoren eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus und ergänze diese zu einer Basis des 𝟜.

Aufgabe 4

Begründe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um eine Basis des handeln kann:

 

Aufgabe 5

Begründe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um eine Basis des handeln kann:

Aufgabe 6

Priffe, ob die folgende Menge ein Erzeugendensystem des ist. Verkürze/Ergänze anschließend zu einer Basis des .

 

Aufgabe 7

Prüfe, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind und bilde eine Basis des von ihnen aufgespannten Vektorraums von :

Aufgabe 8

Prüfe, ob die folgende Menge eine Basis von bildet?

Aufgabe 9

Prüfe, ob ein Erzeugendensystem des ist. Wenn ja, so verkürze dieses zu einer Basis des . Wenn nein, so ergänze eine größtmögliche Teilmenge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis des .

Aufgabe 10

Prüfe, ob ein Erzeugendensystem des ist. Wenn ja, so verkürze dieses zu einer Basis des . Wenn nein, so ergänze eine größtmögliche Teilmenge linear unabhängiger Vektoren zu einer Basis des .

Aufgabe 11

Sei ein Unterraum des

 

Ermittle eine Basis von sowie und ergänze diese Basis zu einer Basis des .

Inhalte erstellen:

Thema vorschlagen
Theorie erstellen
Aufgabe erstellen