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Aufgabenstellung:

Berechne die Taylorreihe für um den Entwicklungspunkt .

Lösungsweg:

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Bestimme die ersten Ableitungen um ein allgemeines Ableitungsmuster zu erkennen:

Für die erste Ableitung ergibt sich (Produktregel):

Für die zweite Ableitungen ergibt sich (Produktregel):

Schreibe eine allgemeine Formel für die Ableitungen der Funktion auf:

Weise mittels vollständiger Induktion nach, dass deine gefundene Formel für immer gilt:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsvoraussetzung (IV):

Die Aussage gilt für ein festes

3.Induktionsbehauptung und Induktionsschluss:

Für soll gelten:

Nutze , setze die Induktionsvoraussetzung ein, leite ab und forme um:

Die gefundene Formel gilt also nach dem Prinzip der vollständigen Induktion!

Setze nun alles in die allgemeine Formel für die Taylorreihe ein und fasse zusammen:

Lösung:

Das Taylorreihe ergibt sich zu: