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Aufgabenstellung:

Entwickle die Taylorreihe von um den Entwicklungspunkt mit:

Bei dieser Aufgabe ist kein Induktionsbeweis nötig.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Es ist nicht ohne weiteres möglich eine Bildungsvorschrift für die n-te Ableitung zu finden. Berechne daher zunächst ein Taylorpolynom 4.Ordnung und schaue ob sich so ein Muster ergibt.

Formel für :

Berechne die ersten Ableitungen und setze in und die Ableitungen ein:

Setze die berechneten Werte in die Formel ein und vereinfache:

Leite eine Bildungsvorschrift aus den 3 entstandenen Gliedern ab:

Formuliere die endgültige Taylorreihe:

Lösung:

Definition

Taylorreihe einer Funktion

ist dabei die Entwicklungsstelle

Vorgehen

Vollständige Induktion

1) Induktionsanfang (IA):

Finde eine natürliche Zahl, für welche die Aussage gilt. Starte bei und erhöhe ggf. die eingesetzte Zahl, bis die Aussage zutrifft.

 

2) Induktionsvoraussetzung (IV):

Schreibe auf: "Es gibt ein für das die Aussage gilt."

 

3) Induktionsbehauptung (IB) und Induktionsschluss (IS):

Formuliere . Zeige dann durch geschicktes umformen und einsetzen der I.V. dass die Aussage gilt.

 

4) Schlusssatz:

Schreibe auf: "Somit gilt die Aussage nach dem Prinzip der vollständigen Induktion."

Vorgehen

Taylorpolynom

  1. Stelle das gesuchte Taylorpolynom auf, indem du die einzelnen Sumanden ausschreibst. Dabei bezeichnet die Ordnung und den Entwicklungspunkt.
    Ob du die Schreibweise oder benutzt spielt keine Rolle.
  2. Bestimme die ersten Ableitungen von .
  3. Berechne den Wert der Ableitungen an der Stelle .
  4. Setze alles in das aufgestellte Taylorpolynom ein und vereinfache den Ausdruck.

Vorgehen

Taylorreihe bestimmen

  1. Berechne die ersten Ableitungen der Funktion , bis du ein Muster erkennst.

  2. Schreibe eine allgemeine Bildungsvorschrift für die -te Ableitung von auf:


  3. Beweise deine gefundene Bildungsvorschrift mittels vollständiger Induktion.

  4. Setze den Entwicklungspunkt und die Bildungsvorschrift in die allgemeine Formel für die Taylorreihe ein und vereinfache:

Hinweis

Tipps zum Induktionsschluss:

 

Summen

Spalte immer zunächst das letzte Summenglied ab, um anschließend die Induktionsvoraussetzung einsetzen zu können.

 

Teilbarkeit

Nutze aus, dass jedes Produkt immer als ganzes teilbar ist, solange ein Faktor teilbar ist.

ist durch 6 teilbar!

 

Nutze ggf. die Methode der konstruktiven Null (blau), um deine I.V. zu erhalten. Es kann Helfen erst die I.V. aufzuschreiben und dann Terme zu ergänzen bis die Gleichung wieder stimmt.

 

Ableitungen

Falls von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe zunächst , leite ab und setze anschließend die Induktionsvoraussetzung ein.

 

Falls nicht von abhängig ist (z. B. ):

Schreibe , setze sofort die Induktionsvoraussetzung ein und leite anschließend ab.

Hinweis

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlichster Ordnung.

Formel

Ableitungsregeln im Überblick

Konstantenregel:

 

Faktorregel:

 

Potenzregel:

 

Summenregel:

 

Produktregel:

 

Kettenregel:

 

Quotientenregel:

Formel

Bei Aufgaben mit z.B. ist es nicht trivial eine allgemeine Formel für die -te Ableitung zu finden. Es hilft dann oft die ersten Glieder eines passenden Taylorpolynoms (ausgewertet an der Stelle ) aufzuschreiben und anschließend eine passende Bildungsvorschrift für die Taylorreihe abzuleiten.