Flächenberechnung

Theorie:

Fläche zwischen zwei Funktionen

Die Fläche, die zwei Funktionsgraphen einschließen, wird berechnet, indem man die untere Funktion von der oberen Funktion abzieht und dann darüber integriert. Als Grenzen wählst du bei dieser Methode einfach die Schnittpunkte der zwei Funktionen. Ganz ähnlich wie bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen Graph und x-Achse, teilst du dein Integral einfach in mehrere Teilintegrale auf, falls die beiden Graphen mehrere Schnittpunkte haben sollten. Wie du konkret vorgehst, siehst du im Folgenden:

Vorgehen

Fläche zwischen zwei Graphen

  1. Berechne alle Schnittpunkte der gegebenen Funktionen durch Gleichsetzen :


  2. Bilde die Integrale , jeweils mit den Schnittpunkten als Integralgrenzen und addiere ihre Beträge:


    Alternativ: Du kannst auch die Beträge weglassen und die Funktionen jedes Mal so vertauschen, dass immer die untere von der oberen Funktion abgezogen wird. So liefert auch jedes Integral einen positiven Wert.

  3. Löse die Integrale und fasse zusammen.

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

In der Analysis ist eine sehr häufige Anwendung der Integralrechnung die Flächenberechnung zwischen einem Graphen und der x-Achse. Ein Problem ist, dass der tatsächliche Flächeninhalt nur mit dem Wert des Integrals übereinstimmt, falls der Graph im betrachteten Invtervall durchgehend positiv ist. Für die Berechnung einer Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist es also wichtig, dass die Werte der Teilintegrale alle positiv sind. Falls sie das nicht sind, kannst du dieses Problem umgehen, indem du den Betrag der Teilintegrale betrachtest. Wie du dabei konkret vorgehst, siehst du im Folgenden:

Vorgehen

Flächenberechnung zwischen Funktion und x-Achse

  1. Berechne alle Nullstellen (Schnittpunkte mit der -Achse) und Unstetigkeitsstellen der Funktion.
    Falls du bereits ein Intervall vorgegeben hast, so musst du nur die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen innerhalb des Intervalls kennen.

  2. Bilde Teilintegrale für . Nutze als Integralgrenzen jeweils Nullstellen, Unstetigkeitsstellen und (falls gegeben) Intervallgrenzen. Achte darauf die Grenzen in aufsteigender Reihenfolge einzusetzen:


  3. Berechne die Integrale. Achte darauf, dass Flächeninhalte immer positiv sind. Nutze also ggf. Betragsstriche:



Aufgaben:

Aufgabe 1

Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Funktion und die -Achse im Intervall eingeschlossen wird.

Aufgabe 2

Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Kurven bzw. Geraden eingeschlossen wird:

Zeichne zunächst eine Skizze der zu bestimmende Fläche.

Aufgabe 3

Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Kurven bzw. Geraden eingeschlossen wird:

Zeichne zunächst eine Skizze der zu bestimmende Fläche.

Aufgabe 4

Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Kurven eingeschlossen wird:

Zeichne zunächst eine Skizze der zu bestimmende Fläche.

Aufgabe 5

Berechne die Fläche, welche zwischen der folgenden Funktion und der -Achse eingeschlossen ist.

Aufgabe 6

Berechne den Inhalt der Fläche, welche durch die Kurven bzw. Geraden eingeschlossen wird:

Zeichne zunächst eine Skizze der zu bestimmende Fläche.

Inhalte erstellen:

Thema vorschlagen
Theorie erstellen
Aufgabe erstellen