Fläche zwischen Funktion und x-Achse

In der Analysis ist eine sehr häufige Anwendung der Integralrechnung die Flächenberechnung zwischen einem Graphen und der x-Achse. Ein Problem ist, dass der tatsächliche Flächeninhalt nur mit dem Wert des Integrals übereinstimmt, falls der Graph im betrachteten Invtervall durchgehend positiv ist. Für die Berechnung einer Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse ist es also wichtig, dass die Werte der Teilintegrale alle positiv sind. Falls sie das nicht sind, kannst du dieses Problem umgehen, indem du den Betrag der Teilintegrale betrachtest. Wie du dabei konkret vorgehst, siehst du im Folgenden:

Vorgehen

Flächenberechnung zwischen Funktion und x-Achse

  1. Berechne alle Nullstellen (Schnittpunkte mit der -Achse) und Unstetigkeitsstellen der Funktion.
    Falls du bereits ein Intervall vorgegeben hast, so musst du nur die Nullstellen und Unstetigkeitsstellen innerhalb des Intervalls kennen.

  2. Bilde Teilintegrale für . Nutze als Integralgrenzen jeweils Nullstellen, Unstetigkeitsstellen und (falls gegeben) Intervallgrenzen. Achte darauf die Grenzen in aufsteigender Reihenfolge einzusetzen:


  3. Berechne die Integrale. Achte darauf, dass Flächeninhalte immer positiv sind. Nutze also ggf. Betragsstriche:



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