Uneigentliche Integrale

Manchmal werden Integrale betrachtet, die als Integrationsgrenzen sogenannte kritische Punkte haben. Solche bestimmten Integrale (bestimmt, da sie Integrationsgrenzen besitzen) nennt man auch uneigentliche Integrale. Wir können hier zwischen zwei Arten von uneigentlichen Integralen unterscheiden:

Erster Art: Mindestens eine Integrationsgrenze ist unbeschränkt, d.h. es kommt mindestens ein und/oder vor.
Zweiter Art: Die zu integrierende Funktion ist an mindestens einer Integrationsgrenze nicht definiert, d.h. und/oder ist nicht definiert.

Definition

Bestimmtes Integral mit kritischen Punkten als Grenzwert. Gegeben sei:

Erster Art: und/oder sind und/oder .
Zweiter Art: und/oder nicht definiert.

Da du uneigentliche Integrale nicht einfach so berechnen kannst, wie normale Integrale, kannst du folgendes Vorgehen nutzen, um diese dennoch berechnen zu können:

Vorgehen

Uneigentliches Integral berechnen

Ersetze jede kritische Grenze durch eine Variable () und schreibe jeweils den Limes gegen die kritische Stelle vor das Integral. Z.B.:
Berechne zuerst das Integral und bilde anschließend die Grenzwerte. Die Konvergenz des uneigentlichen Integrals ist nachgewiesen, wenn ein endlicher Wert herauskommt.