Hier lernst du wie du Flächen zwischen verschiedenen Graphen oder Graphen und Koordinatenachsen bestimmst. Insbesondere das aufstellen eines passenden Integrals und die Wahl der Integrationsgrenzen sind von Bedeutung.

Flächenberechnung

Fläche zwischen zwei Funktionen

Fläche zwischen Funktion und x-Achse

Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch einen endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral. Hier lernst du diese Integrale zu berechnen.

Uneigentliche Integrale

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Der Wert des Integrals beträgt:
\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}(3-x) \cdot e^{-x} d x=\frac{1}{e}
\end{align*}

Der Wert des Integrals beträgt:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}(3-x) \cdot e^{-x} d x=\frac{1}{e}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.033ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.682ex" height="5.197ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1398.5 10467.5 2297" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-17-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-17-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 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Ersetze die obere Grenze des Integrals durch $a$:

Ersetze die obere Grenze des Integrals durch <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="a" style="vertical-align: -0.023ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:

\begin{align*}
\int_{1}^{a}(3-x) \cdot e^{-x} d x
\end{align*}

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\begin{align*}
\int_{1}^{a}(3-x) \cdot e^{-x} d x \ &amp;\overset{P. I.}{=} \left[(3-x) \cdot\left(-e^{-x}\right)\right]_{1}^{a}-\int_{1}^{a} e^{-x} d x \\
&amp;=(3-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)-2 \cdot\left(-e^{-1}\right)+e^{-a}-e^{-1} \\
&amp;=(2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)+e^{-1}
\end{align*}

\begin{align*}
\lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)+e^{-1}\right) &amp;= \lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)\right) + e^{-1} \\
&amp;= \lim _{a \rightarrow \infty} \left((-1) \cdot \frac{2-a}{e^{a}} \right) + \frac{1}{e}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)+e^{-1}\right) &= \lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)\right) + e^{-1} \\
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transform="translate(220,676)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(237,-686)"><use data-c="1D452" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D452"></use></g><rect width="700" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Nutze den Satz von I'Hospital, da der Grenzwert von der Form $\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ ist:

Nutze den Satz von I'Hospital, da der Grenzwert von der Form <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(\frac{\infty}{\infty}\right)" style="vertical-align: -0.798ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.668ex" height="2.72ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 2063.1 1202.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-15-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-15-TEX-N-221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path><path id="MJX-15-TEX-SO-29" d="M305 251Q305 -145 69 -349H56Q43 -349 39 -347T35 -338Q37 -333 60 -307T108 -239T160 -136T204 27T221 250T204 473T160 636T108 740T60 807T35 839Q35 850 50 850H56H69Q197 743 256 566Q305 425 305 251Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-15-TEX-SO-28"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(458,0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-221E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="221E" xlink:href="#MJX-15-TEX-N-221E"></use></g><rect width="907.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1605.1,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-15-TEX-SO-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist:

\begin{align*}
\phantom{\lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)+e^{-1}\right)}
&amp;= \lim _{a \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^{a}} \right)+ \frac{1}{e} \\
&amp;= 0+\frac{1}{e} \\
&amp;=\frac{1}{e}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\lim _{a \rightarrow \infty}\left((2-a) \cdot\left(-e^{-a}\right)+e^{-1}\right)}
&= \lim _{a \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{e^{a}} \right)+ \frac{1}{e} \\
&= 0+\frac{1}{e} \\
&=\frac{1}{e}
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Bestimme den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls er existiert:
\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}(3-x) \cdot e^{-x} d x
\end{align*}

Bestimme den Wert des folgenden uneigentlichen Integrals, falls er existiert:
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Uneigentliche Integrale mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Integralrechnung - Uneigentliche Integrale | Aufgabe mit

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: