Integrieren durch Substitution

Theorie:

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution, auch Substitutionsregel genannt, ist eine nützliche Methode in der Integralrechnung, um bestimmte oder unbestimmte Integrale einfacher berechnen zu können. Du kannst die Kettenregel aus der Differentialrechnung gewissermaßen als Umkehrung der Substitutionsregel betrachten. 

Wenn du nun ein Integral berechnen möchtest, das sich mit anderen Integrationsregeln gar nicht oder nur schwer berechnen lässt, dann kannst du folgendermaßen vorgehen. 

Vorgehen

Integration durch Substitution

  1. Wähle einen Term aus, den du durch ersetzen willst:

  2. Bestimme durch Ableiten von und anschließendem umformen:


  3. Bestimme neue Integralgrenzen, durch einsetzen von in das in Schritt 1. gewählte :
    und
    Falls es sich um ein unbestimmtes lntegral (lntegral ohne Grenzen ) handelt, diesen Schritt weglassen! 
     
  4. Ersetze nun jeden Term durch , jedes durch und (falls vorhanden) die Integrationsgrenzen durch . Das neue Integral sollte nun kein mehr enthalten:


  5. Integriere den neuen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.

  6. Falls ein unbestimmtes Integral (Integral ohne Grenzen) vorlag, so musst du noch resubstituieren. Ersetze hierfür jedes wieder durch .

Aufgaben:

Aufgabe 1

Berechne folgendes Integral:

Aufgabe 2

Berechne folgendes Integral:

Aufgabe 3

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 4

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 5

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 6

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 7

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 8

Berechne folgendes Integral:

Aufgabe 9

Man berechne: 

Aufgabe 10

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

Aufgabe 11

Berechne folgendes Integral mittels Substitution:

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