"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Ergebnis:
\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x= \frac{\sin \left(\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}\right)-1}{4}
\end{align*}

Ergebnis:
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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x= \frac{\sin \left(\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}\right)-1}{4}
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320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-3845-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3845-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 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Führe eine Substitution mit $z(x)=2 x^{2}+\frac{\pi}{2}$ durch.

Führe eine Substitution mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z(x)=2 x^{2}+\frac{\pi}{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.135ex" height="2.667ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 6689.6 1178.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3839-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3839-TEX-N-28" d="M94 250Q94 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Bestimme einen Ausdruck für $dx$:

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369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-3841-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path><path id="MJX-3841-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-3841-TEX-N-21D4" d="M308 524Q318 526 323 526Q340 526 340 514Q340 507 336 499Q326 476 314 454T292 417T274 391T260 374L255 368Q255 367 500 367Q744 367 744 368L739 374Q734 379 726 390T707 416T685 453T663 499Q658 511 658 515Q658 525 680 525Q687 524 690 523T695 519T701 507Q766 359 902 287Q921 276 939 269T961 259T966 250Q966 246 965 244T960 240T949 236T930 228T902 213Q763 137 701 -7Q697 -16 695 -19T690 -23T680 -25Q658 -25 658 -15Q658 -11 663 1Q673 24 685 46T707 83T725 109T739 126L744 132Q744 133 500 133Q255 133 255 132L260 126Q265 121 273 110T292 84T314 47T336 1Q341 -11 341 -15Q341 -25 319 -25Q312 -24 309 -23T304 -19T298 -7Q233 141 97 213Q83 221 70 227T51 235T41 239T35 243T34 250T35 256T40 261T51 265T70 273T97 287Q235 363 299 509Q305 522 308 524ZM792 319L783 327H216Q183 294 120 256L110 250L120 244Q173 212 207 181L216 173H783L792 181Q826 212 879 244L889 250L879 256Q826 288 792 319Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 2406.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(554.8, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(465, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(854, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1426, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1833.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3031.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(4031.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-32"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 50.5)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(837.8, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(273.5, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1292" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2043, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2432, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3004, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3670.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4726.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5226.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -2316.5)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-21D4"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1797.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(263.5, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500, 0)"><use xlink:href="#MJX-3841-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1272" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne die neuen Integralgrenzen:

\begin{align*}
z(0)&amp;=2 \cdot 0^{2}+\frac{\pi}{2}\\
&amp;=\frac{\pi}{2}\\
z\left(\frac{\pi}{2}\right) &amp;=2 \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{\pi}{2} \\
&amp;=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2} 
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
z(0)&=2 \cdot 0^{2}+\frac{\pi}{2}\\
&=\frac{\pi}{2}\\
z\left(\frac{\pi}{2}\right) &=2 \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}+\frac{\pi}{2} \\
&=\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2} 
\end{align*}" style="vertical-align: -9.293ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.771ex" height="19.718ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4607.7 10065 8715.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3842-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3842-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 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xlink:href="#MJX-3842-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(570, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(456.8, -686)"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-N-32"></use></g><rect width="1173.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2969.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(3969.6, 0)"><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(255, -686)"><use xlink:href="#MJX-3842-TEX-N-32"></use></g><rect width="770" height="60" x="120" 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Schreibe das "neue" Integral auf:

\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x&amp;=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}} x \cos (z) \frac{d z}{4 x} \\
&amp;=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (z)}{4} d z
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x&=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}} x \cos (z) \frac{d z}{4 x} \\
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\begin{align*}
\phantom{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x}
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&amp;=\frac{\sin \left(\frac{\pi^{2}}{2}+\frac{\pi}{2}\right)-1}{4}
\end{align*}

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\phantom{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x}
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Berechne folgendes Integral:
\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x
\end{align*}

Berechne folgendes Integral:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos \left(2 x^{2}+\frac{\pi}{2}\right) d x
\end{align*}" style="vertical-align: -2.256ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.768ex" height="5.643ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1497 10063.5 2494.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3838-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-3838-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 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width="770" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4305, 0)"><use xlink:href="#MJX-3838-TEX-LO-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8971.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3838-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9491.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-3838-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Integrieren durch Substitution mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Integrieren durch Substitution | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<h2 class="content_sub_heading">Integration durch Substitution</h2>
<ol>
<li>Wähle einen Term aus, den du durch $z$ ersetzen willst: $z=z(x)=g(x)$ </li>
<li>Bestimme $d x$ durch Ableiten von $z(x)=g(x)$ und anschließendem umformen: \begin{align*}\quad \frac{d z}{d x}=g^{\prime}(x) \Rightarrow d x=\frac{d z}{g^{\prime}(x)}\end{align*} </li>
<li>Bestimme neue Integralgrenzen, durch einsetzen von $a, b$ in das in Schritt 1. gewählte $z(x)$: $\quad \Rightarrow g(a)=\ldots$ und $g(b)=\ldots$ Falls es sich um ein unbestimmtes lntegral (lntegral ohne Grenzen $a \ \text{und} \ b$) handelt, diesen Schritt weglassen!   </li>
<li>Ersetze nun jeden Term $g(x)$ durch $z$, jedes $d x$ durch $\frac{d z}{g^{\prime}(z)}$ und (falls vorhanden) die Integrationsgrenzen $a, b$ durch $g(a) \ \text{und} \ g(b)$. Das neue Integral sollte nun kein $x$ mehr enthalten: \begin{align*}\quad \int_{a}^{b} \ldots d x \quad \Rightarrow \quad \int_{g(a)}^{g(b)} \ldots d z\end{align*} </li>
<li>Integriere den neuen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln. </li>
<li>Falls ein unbestimmtes Integral (Integral ohne Grenzen) vorlag, so musst du noch resubstituieren. Ersetze hierfür jedes $z$ wieder durch $g(x)$.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: