"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

\begin{align*}
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x &amp;= -\cos(e^x)
\end{align*}

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\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x &= -\cos(e^x)
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Führe eine Substitution mit $z(x)=e^{x}$ durch.

Führe eine Substitution mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="z(x)=e^{x}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.206ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4069 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3199-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3199-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3199-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3199-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3199-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3199-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(465, 0)"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(854, 0)"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1426, 0)"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2092.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3148.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3199-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> durch.

Bestimme einen Ausdruck für $dx$:

Bestimme einen Ausdruck für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="dx" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.471ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1092 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3200-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-3200-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3200-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3200-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:

\begin{aligned}
z(x) &amp;=e^{x} \\
\frac{d z}{d x} &amp;=z^{\prime}(x)=e^{x} \\
\Leftrightarrow d x &amp;=\frac{d z}{e^{x}}
\end{aligned}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{aligned}
z(x) &=e^{x} \\
\frac{d z}{d x} &=z^{\prime}(x)=e^{x} \\
\Leftrightarrow d x &=\frac{d z}{e^{x}}
\end{aligned}" style="vertical-align: -5.921ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.138ex" height="12.973ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3117 8016.8 5734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3201-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-3201-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 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data-mml-node="mi" transform="translate(854, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1426, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 447)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(837.8, 0)"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(273.5, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -686)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g></g><rect width="1292" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(465, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2043, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2432, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3004, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3670.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4726.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1920)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-21D4"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1797.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2369.8, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D467"></use></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(252.3, -686)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(466, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3201-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><rect width="1185" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Schreibe das "neue" Integral auf:

\begin{align*}
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x &amp;=\int z \sin (z) \frac{d z}{e^{x}} \\
&amp;=\int z \sin (z) \frac{d z}{z} \\
&amp;=\int \sin (z) d z
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x &=\int z \sin (z) \frac{d z}{e^{x}} \\
&=\int z \sin (z) \frac{d z}{z} \\
&=\int \sin (z) d z
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transform="translate(6382.9, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2444.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-73"></use><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-69" transform="translate(394, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-6E" transform="translate(672, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3672.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3672.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4061.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4526.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4915.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5435.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3202-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Integriere den Ausdruck und Resubstituiere:

\begin{align*}
\phantom{\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x }&amp;=-\cos (z) \\
&amp;= -\cos(e^x)
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x }&=-\cos (z) \\
&= -\cos(e^x)
\end{align*}" style="vertical-align: -3.419ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.465ex" height="7.968ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2011 11697.6 3522" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3203-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3203-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-3203-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-3203-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 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xlink:href="#MJX-3203-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3616.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3616.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4005.2, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-I-1D452"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(466, 413) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-I-1D465"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4925.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-3203-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne folgendes Integral:
\begin{align*}
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x
\end{align*}

Berechne folgendes Integral:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int e^{x} \sin \left(e^{x}\right) d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.441ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 6382.9 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3198-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-3198-TEX-I-1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Integrieren durch Substitution mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Integrieren durch Substitution | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<h2 class="content_sub_heading">Integration durch Substitution</h2>
<ol>
<li>Wähle einen Term aus, den du durch $z$ ersetzen willst: $z=z(x)=g(x)$ </li>
<li>Bestimme $d x$ durch Ableiten von $z(x)=g(x)$ und anschließendem umformen: \begin{align*}\quad \frac{d z}{d x}=g^{\prime}(x) \Rightarrow d x=\frac{d z}{g^{\prime}(x)}\end{align*} </li>
<li>Bestimme neue Integralgrenzen, durch einsetzen von $a, b$ in das in Schritt 1. gewählte $z(x)$: $\quad \Rightarrow g(a)=\ldots$ und $g(b)=\ldots$ Falls es sich um ein unbestimmtes lntegral (lntegral ohne Grenzen $a \ \text{und} \ b$) handelt, diesen Schritt weglassen!   </li>
<li>Ersetze nun jeden Term $g(x)$ durch $z$, jedes $d x$ durch $\frac{d z}{g^{\prime}(z)}$ und (falls vorhanden) die Integrationsgrenzen $a, b$ durch $g(a) \ \text{und} \ g(b)$. Das neue Integral sollte nun kein $x$ mehr enthalten: \begin{align*}\quad \int_{a}^{b} \ldots d x \quad \Rightarrow \quad \int_{g(a)}^{g(b)} \ldots d z\end{align*} </li>
<li>Integriere den neuen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln. </li>
<li>Falls ein unbestimmtes Integral (Integral ohne Grenzen) vorlag, so musst du noch resubstituieren. Ersetze hierfür jedes $z$ wieder durch $g(x)$.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: