Partielle Integration

Wenn es um die Berechnung von Integralen geht, dann ist die partielle Integration (auch Produktintegration genannt) ein wichtiges Werkzeug. Du kannst sie gewissermaßen als Umkehrung der Produktregel der Differentiation betrachten. Wie der auch häufig benutzte Name "Produktintegration" schon vermuten lässt, hilft dir die partielle Integration, wenn es sich um Integrale handelt, die ein Produkt von Funktionen beinhalten, also von folgender Form sind:

Wichtig hierbei ist, dass du eine der Teilfunktionen als Ableitung betrachtest (daher das ). Zu wissen, welchen der beiden multiplizierten Teilfunktionen du als das wählst, ist der schwierigste Teil, aber mit viel Übung und ein paar Tipps (s.u.) wirst du den Dreh schnell raushaben. Wenn du und richtig gewählt hast musst du dir nur noch folgende Formel merken, ein paar Ableitungen und Stammfunktionen berechnen und alles einsetzen:

Vorgehen

Wähle und . Wähle hierbei so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie bieten sich hierfür an.
Bilde nun:
1.) durch Ableiten von
2.) durch Integration von
Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein:
Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.

Hinweis

Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.
Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.

Aufgabe 1

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration: