"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Das Lösung des Integrals lautet:
\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}

Das Lösung des Integrals lautet:
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\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -2.06ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.039ex" height="5.251ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1410.5 11951.3 2321" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2578-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2578-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 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Wähle $u(x)$, $v^{\prime}(x)$ und berechne $u^{\prime}(x)$, $v(x)$:

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278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtable"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 1114)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(157.5, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1533, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2079.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2167.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2556.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3128.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(3517.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mstyle" transform="translate(4517.6, 0)"><g data-mml-node="mspace"></g></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1555.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2372, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2761, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3333, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3999.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5055.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(256, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><rect width="772" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1225)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(485, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(729.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1118.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1690.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2079.5, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1333.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(457.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-33"></use></g></g></g><rect width="1175.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(7597, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-21D2"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1555.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2040.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3001.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3668.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4724.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(5502.1, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2575-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein :

\begin{align*}
\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x &amp;= \ln (x) \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) -\int \frac{1}{x} \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) d x \\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2 x^{3}} d x
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x &= \ln (x) \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) -\int \frac{1}{x} \left(-\frac{1}{2 x^{2}}\right) d x \\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2 x^{3}} d x
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data-mml-node="mfrac" transform="translate(1514, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3429.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-S3-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(15193.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(15713.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, -1399)"><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(6052.2, 0)"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(277.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1333.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2111.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 710)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-6E" transform="translate(278, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1223, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(574.2, -719.9)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><rect width="2384" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4957.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5958, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-LO-222B"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(7068.7, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(707.8, 676)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, -719.2)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(572, 289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><rect width="1675.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8984.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(9504.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-2576-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Berechne das neu entstandene Integral:

\begin{align*}
\phantom{\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x}
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2} x^{-3} d x\\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4}x^{-2}\\
&amp;=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4 x^{2}}\\
&amp;=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\phantom{\int \ln(x) \ \frac{1}{x^{3}} d x}
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}+\int \frac{1}{2} x^{-3} d x\\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4}x^{-2}\\
&=-\frac{\ln (x)}{2 x^{2}}-\frac{1}{4 x^{2}}\\
&=\frac{-2 \ln (x)-1}{4 x^{2}}
\end{align*}" style="vertical-align: -10.513ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.734ex" height="22.158ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -5146.9 16678.6 9793.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2577-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-2577-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 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Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x
\end{align*}

Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -2.06ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.92ex" height="5.251ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1410.5 4826.7 2321" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2570-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-2570-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Partielle Integration | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$
Faktorregel
$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$
Summenregel
$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$
Konstantenregel
$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$
Potenzregel
$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$
Partielle Integration
$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$
Integration durch Substitution
$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$

<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>

<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an. </li>
<li>Bilde nun: 1.) $f^{\prime}(x)$ durch Ableiten von $f(x)$ 2.) $g(x)$ durch Integration von $g^{\prime}(x)$ </li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein: \begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*} </li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>

<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
Potenzen:
$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$
$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$
 
Gebrochenrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$
$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$
 
Exponentialfunktionen:
$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$
$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$
 
Irrationale Funktionen:
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$
$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$
$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$
 
Trigonometrische Funktionen:
$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$
$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$
$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$
$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$
$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$
 
Hyperbelfunktionen:
$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$
$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$
$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$
$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$
$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$
$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: