"gemischte Integrale" - eine Möglichkeit zu lernen, wann welche Integralregeln Anwendung finden. Also quasi eine Möglichkeit die Aufgaben von "Partielle Integration", "Integration durch Substitution" und "Integration mittels Partialbruchzerlegung" zufällig zu machen. 

Logarithmische Integration

Einfache Integrale lassen sich ohne komplizierte "Tricks" integrieren, indem man auf allgemeine Integrationsregeln und bekannte Grundintegrale zurückgreift.

Einfache Integrale

Die partielle Integration wird verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Ziel ist es die ursprüngliche Funktion so umzuformen, dass eine neue Funktion entsteht, die einfacher zu Integrieren ist.

Partielle Integration

Bei dieser Integrationsmethode lernst du, Terme in einem Integral durch andere zu ersetzen (Substitution) und so eine schwierige Aufgabe lösbar zu machen.

Integrieren durch Substitution

Integration durch Substitution

Die Partialbruchzerlegung kommt insbesondere bei der Integration von rationalen Funktionen zur Anwendung. Man "zerlegt" das vorlegende Integral in einfache Teilbrüche und kann anschließend mit bekannten Integrationsmitteln weiter machen.

Integration mittels Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>Das Lösung des Integrals lautet:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\int(\log x)^{3} d x =x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6 x \log (x)-6 x</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Das Lösung des Integrals lautet:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int(\log x)^{3} d x =x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6 x \log (x)-6 x
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data-mml-node="msup" transform="translate(15038.1, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(389, 413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(16052.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(17053.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(17553.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(18291.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-6C"></use><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-6F" transform="translate(278, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-67" transform="translate(778, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19569.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(19569.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(19958.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(20530.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(21142, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(22142.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(22642.2, 0)"><use xlink:href="#MJX-3211-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>Wähle $u(x), v^{\prime}(x)$ und wende die Formel für die partielle Integration an:</p>


<p>Wähle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="u(x), v^{\prime}(x)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.059ex" height="2.283ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4446.1 1009" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3206-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-3206-TEX-N-2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-I-1D462"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(572, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(961, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1533, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1922, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2366.7, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(485, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-2032"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3096.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3485.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4057.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-3206-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und wende die Formel für die partielle Integration an:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\int(\log x)^{3} d x&amp;=\int \underbrace{1}_{v^{\prime}} \cdot \underbrace{(\log x)^{3}}_{u} d x \\</p>
<p>&amp;=x(\log x)^{3}-\int x \cdot 3 \cdot(\log x)^{2} \cdot \frac{1}{x} d x</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne das entstandene Integral erneut mittels partieller Integration!</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\int(\log x)^{3} d x}</p>
<p>&amp;=x(\log x)^{3}-3 \int \underbrace{1}_{v^{\prime}} \cdot \underbrace{(\log x)^{2}}_{u} d x\\</p>
<p>&amp;=x(\log x)^{3}-3\left[x(\log x)^{2}-\int x \cdot 2 \cdot \log (x) \cdot \frac{1}{x} d x\right]</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne das entstandene Integral nochmals mittels partieller Integration:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\int(\log x)^{3} d x} &amp;=x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6 \int \underbrace{1}_{v^{\prime}} \cdot \underbrace{\log (x)}_{u} d x\\</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\phantom{\int(\log x)^{3} d x}&amp;=x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6\left[x \log (x)-\int x \cdot \frac{1}{x} d x\right]\\</p>
<p>&amp;=x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6 x \log (x)-6 \int 1 d x\\</p>
<p>&amp;=x(\log x)^{3}-3 x(\log x)^{2}+6 x \log (x)-6 x</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:</p>
<p>\begin{align*}</p>
<p>\int(\log x)^{3} d x</p>
<p>\end{align*}</p>

<p>Bestimme das folgende Integral mittels partieller Integration:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\int(\log x)^{3} d x
\end{align*}" style="vertical-align: -1.948ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.842ex" height="5.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1361 5234.2 2222" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3205-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-3205-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Partielle Integration mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Integrieren - Partielle Integration | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Integrationsregeln im Überblick</h2>
<p><em>Seien $\alpha \text {,} \ c \in \mathbb{R}$ , konst. und $n \in \mathbb{R} $, $n \neq -1$</em></p>
<p><strong>Faktorregel</strong></p>
<p>$$\quad \int \alpha f(x) d x=\alpha \cdot \int f(x) d x$$</p>
<p><strong>Summenregel</strong></p>
<p>$$\quad \int(u(x)+v(x)) d x=\int u(x) d x+\int v(x) d x$$</p>
<p><strong>Konstantenregel</strong></p>
<p>$$\quad \int \alpha \cdot d x= \alpha \cdot x+c$$</p>
<p><strong>Potenzregel</strong></p>
<p>$$\quad \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+c$$</p>
<p><strong>Partielle Integration</strong></p>
<p>$$\quad \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x$$</p>
<p><strong>Integration durch Substitution</strong></p>
<p>$$\quad \int f(x) \mathrm{d} x=\int f(g(z)) \cdot g^{\prime}(z) \mathrm{d} z$$</p>


<ul>
<li>Oft kommt es vor, dass du mehrere partielle Integrationen hintereinander durchführen musst, um ein endgültiges Ergebnis zu erhalten.</li>
<li>Es kann passieren, dass auf der rechten Seite dasselbe Integral entsteht wie vor dem Anwenden der partiellen Integration. Nutze in diesem Fall eine Äquivalenzumformung: ziehe das entstandene Integral auf die linke Seite und fasse zusammen.</li>
</ul>



<h2 class="content_sub_heading">Partielle Integration</h2>
<ol>
<li>Wähle $f(x)$ und $g^{\prime}(x)$. Wähle hierbei $g^{\prime}(x)$ so, dass du die Funktion einfach integrieren kannst. Funktionen mit Termen wie $e, \sin, \cos \ldots$ bieten sich hierfür an.<br /><br /></li>
<li>Bilde nun:<br /><strong>1.)</strong> $f^{\prime}(x)$ durch <strong>Ableiten</strong> von $f(x)$<br /><strong>2.) </strong>$g(x)$ durch <strong>Integration</strong> von $g^{\prime}(x)$<br /><br /></li>
<li>Setze alles in die Formel der partiellen Integration ein:<br />\begin{align*}\quad \int f(x) \cdot g^{\prime}(x) d x=f(x) \cdot g(x)-\int f^{\prime}(x) \cdot g(x) d x\end{align*}<br /><br /></li>
<li>Integriere den neu entstandenen Ausdruck mithilfe der Integrationsregeln.</li>
</ol>



<h2 class="content_sub_heading">Liste wichtiger Grundintegrale</h2>
<p><strong>Potenzen:</strong></p>
<p>$\quad \int x^{n} d x =\frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text { mit } n \neq-1$</p>
<p>$\quad \int \frac{1}{x} dx =\ln |x|$</p>
<p> </p>
<p><strong>Gebrochenrationale Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{1-x^{2}}=\operatorname{artanh} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad \text{ mit } |x| \leq 1$</p>
<p> </p>
<p><strong>Exponentialfunktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int e^{x} d x=e^{x}$</p>
<p>$\quad \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}$</p>
<p> </p>
<p><strong>Irrationale Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} \ \ \ \ =\arcsin x$</p>
<p>$-\int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\arccos x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{1+x^{2}}} \ \ \ \ =\operatorname{arsinh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}+1})$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}} \ \ \ \ =\operatorname{arcosh} x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$</p>
<p> </p>
<p><strong>Trigonometrische Funktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \sin x \ d x \ =-\cos x$</p>
<p>$\quad \int \cos x \ d x=\sin x$</p>
<p>$\quad \int \tan x \ d x=-\ln |\cos x|$</p>
<p>$\quad \int \cot x \ d x=\ln |\sin x|$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\cos ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tan x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sin ^{2} x} \ \ \ \ \ =-\cot x$</p>
<p> </p>
<p><strong>Hyperbelfunktionen:</strong></p>
<p>$\quad \int \sinh x \ d x=\cosh x$</p>
<p>$\quad \int \cosh x \ d x=\sinh x$</p>
<p>$\quad \int \tanh x \ d x=\ln \cosh x$</p>
<p>$\quad \int \operatorname{coth} x \ d x=\ln |\sinh x|$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\cosh ^{2} x} \ \ \ \ \ =\tanh x$</p>
<p>$\quad \int \frac{d x}{\sinh ^{2} x} \ \ \ \ \ \ =-\operatorname{coth} x$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: