Reihen untersuchen

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Quotientenkriterium

Wurzelkriterium

Majo- und Minorantenkriterium

Leibnizkriterium

Geometrische Reihe

Teleskopreihe

Theorie:

Reihe, Konvergenz und Auswahl des Kriteriums

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Reihen haben also folgende Form:

Dabei ist die Laufvariable, eine Bildungsvorschrift, und der Startindex.

Definition

Reihe

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Summanden:

Es existiert eine Vielzahl von Reihen, welche unterschiedliche Eigenschaften aufweisen können. Eine der am meisten untersuchten Eigenschaften bildet die Konvergenz bzw. Divergenz einer Reihe.

Konvergenz und Divergenz

Eine Reihe kann entweder Divergieren oder Konvergieren, jenachdem ob ihr Wert im endlichen liegt oder nicht.

Definition

Konvergenz einer Reihe

Konvergenz einer Reihe bedeutet, dass der Wert der Reihe endlich ist:

Definition

Divergenz einer Reihe

Divergenz bedeutet das Gegenteil von Konvergenz, also dass der Wert der Reihe unendlich ist:

Konvergenzuntersuchung

Um zu Beweisen, dass eine Reihe konvergiert gibt es prinzipiell 2 Möglichkeiten. Entweder man berechnet den Wert der Reihe und zeigt das dieser im Endlichen liegt oder man greift auf ein Konvergenzkriterium zurück.

Es gibt eine große Auswahl an Kriterien, welche sich je nach vorliegender Reihe zum Nachweis der Konvergenz/Divergenz anbieten. Die Auswahl solltest du dabei wie folgt treffen:

Vorgehen

Auswahl des richtigen Konvergenzkriteriums

  1. Quotientenkriterium:
    Geeignet wenn vorwiegend aus Produkten/Quotienten von Fakultäten, Binomialkoeffizienten, Exponentialfunktionen besteht.

  2. Wurzelkriterium:
    Besonders geeignet wenn die Gestalt hat.

  3. Majoranten-/Minorantenkriterium:
    Sinnvoll wenn Terme wie enthält oder aus Summanden besteht. z. B.

  4. Leibnizkriterium:
    Zu verwenden wenn alternierendes (Vorzeichen wechselndes) Element besitzt:

  5. Notwendiges Kriterium:
    Damit eine Reihe überhaupt konvergieren kann muss gelten. Kannst du das Gegenteil zeigen, also so divergiert die Reihe sofort.

  6. Wert berechnen:
    Falls eine geometrische Reihe oder Teleskopreihe vorliegt, kannst du den Wert der Reihe berechnen. Hiermit ist dann auch automatisch gezeigt, dass die vorliegende Reihe konvergiert:

    • Wenn die Form besitzt, so handelt es sich um eine geometrische Reihe.
    • Teleskopreihen erkennt man meistes an Differenzen. Z. B. .

Oft wird in der Aufgabenstellung explizit nach einer Wertberechnung gefragt.

Begriff der Reihe

In den vorigen Kapiteln haben wir uns mit Folgen und deren Grenzwerten auseinandergesetzt. Dieses Konzept wollen wir nun nutzen, um unendliche Summen mathematisch exakt zu beschreiben. Dabei werden wir auf den Begriff der Reihe stoßen, den wir in den nächsten Kapiteln untersuchen wollen.

Motivation der Reihe

Was ist ? Hier kann man so vorgehen: Wir starten beim Quadrat mit der Seitenlänge 1. Dessen Flächeninhalt ist . Nun halbieren wir abwechselnd die horizontale und die vertikale Seite. Man erhält so das Rechteck mit dem Flächeninhalt , danach das Quadrat mit der Fläche , dann das Rechteck mit der Fläche und so weiter. Diese Rechtecke können wir geschickt anordnen:

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Visualisierung der geometrischen Reihe [Quelle]

Wenn wir alle Flächen zusammenaddieren, erhalten wir ein Rechteck mit den Maßen und dem Flächeninhalt . Der Wert der unendichen Summe sollte also gleich 2 sein. Wir kommen zum selben Ergebnis, wenn wir die Teilsummen der unendlichen Summe bestimmen:

Die Werte der Teilsummen scheinen gegen 2 zu streben. Das unterstützt die These, dass ist.

Wir haben gerade einer unendlichen Summe einen Wert zugeordnet. Doch jetzt stellt sich die Frage, wie wir das intuitive Konzept einer unendlichen Summe exakt definieren können. An dieser Stelle eröffnen sich einige Fragen:

  • Wie können wir generell den Wert einer unendlichen Summe bestimmen?
  • Gibt es unendliche Summen, denen wir keinen Wert zuweisen können?
  • Wie unterscheidet man unendliche Summen, denen ein Wert beziehungsweise denen kein Wert zugewiesen werden kann?

In diesem Kapitel stellen wir mit dem Konzept der Reihe die formale Definition einer unendlichen Summe vor. Wir werden Reihen mit Hilfe von Partialsummen (= „Teilsummen") definieren. Die Partialsummen bauen auf dem Begriff der endlichen Summe auf. In späteren Kapiteln beantworten wir die Frage, welchen unendlichen Summen wir einen Wert zuweisen können und welchen nicht.

Partialsummen

Da wir inzwischen wissen, wie endliche Summen definiert sind, können wir uns der formalen Definition einer unendlichen Summe widmen. Hierzu starten wir mit der Form, die uns intuitiv plausibel erscheint:

Wir betrachten zunächst die Folge der Teilsummen:

Diese Folge werden wir später benutzen, um unendliche Summen zu definieren. ist die Summe der ersten Summanden und stellt eine endliche Summe dar:

Diese Teilsummen werden in der Mathematik Partialsummen (aus dem Lateinischen, von pars = Teil) genannt. Sie sind ein endlicher Teil der unendlichen Summe. Die formale Definition lautet:

 
Definition

Partialsumme
Sei eine beliebige Folge in . Unter der -ten Partialsumme von versteht man die Summe der ersten Glieder von , das heißt:

Reihe

Der Wert einer unendlichen Summe sollte dem Grenzwert ihrer Partialsummen entsprechen:

Wir können zuerst die Folge aller Partialsummen bilden und dann ihren Grenzwert betrachten. Wir definieren zunächst die Folge der Partialsummen als Reihe. Für eine Reihe schreiben wir hier . Diese Schreibweise ist ähnlich zur -ten Partialsumme . Der einzige Unterschied ist, dass wir als Endwert des Laufindex nicht , sondern das Unendichkeitssymbol verwenden. Wir definieren also:

 
Definition

Reihe
Sei eine beliebige Folge in . Unter einer Reihe versteht man die Folge aller Partialsummen von , das heißt:

Als Nächstes setzen wir den Grenzwert der unendlichen Summe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge gleich. Die Partialsummenfolge ist eine gewöhnliche Folge. Entweder sie besitzt einen Grenzwert oder sie divergiert. Divergiert die Partialsummenfolge, divergiert auch die unendliche Summe beziehungsweise die Reihe. Konvergiert die Partialsummenfolge, setzt man den Wert der unendlichen Summe mit dem Grenzwert der Partialsummenfolge gleich. Eine unendliche Summe ist also dasselbe wie der Grenzwert der dazugehörigen Folge von Partialsummen. Auch für diesen Grenzwert der Partialsummenfolge benutzen wir die Schreibweise :

 
Definition

Grenzwert einer Reihe
Der Grenzwert einer Reihe ist der Limes der Partialsummenfolge

Ist eine Reihe eine Zahl oder eine Folge?

Wie wir bereits bemerkt haben, wird der Ausdruck sowohl für die Folge der Partialsummen (= Reihe) als auch für den Grenzwert der Partialsummenfolge (= Wert der Reihe) verwendet. Das widerspricht grundlegenden Prinzipien der Mathematik, wonach Schreibweisen eindeutig sein müssen. Der Ausdruck sollte nicht gleichzeitig eine Folge und einen Grenzwert, also eine reelle Zahl, bezeichnen. So schreibt Otto Forster in seinem Buch zur „Analysis 1“:

„Das Symbol bedeutet also zweierlei:"

  1. Die Folge der Partialsummen.

  2. Im Falle der Konvergenz den Grenzwert

Beim Ausdruck müssen wir also darauf achten, ob damit die Partialsummenfolge oder ihr Grenzwert gemeint ist. In den meisten Fällen können wir das allerdings schnell aus dem Kontext schließen.

Zusammenfassung

Wir haben die Idee einer unendlichen Summe formal so definiert:

  1. Wir haben die Summe der ersten Summanden als -te Partialsumme definiert.
  2. Wir haben die Folge der Partialsummen Reihe genannt. Der Grenzwert dieser Reihe entspricht dem Wert der unendlichen Summe.

Folge der Restglieder

Wir haben gesehen, dass eine Reihe dasselbe wie eine Partialsummenfolge ist. Gehen wir nun davon aus, dass die Reihe konvergiert. Der Grenzwert von existiert also und entspricht dem Grenzwert Damit ist .

Betrachten wir nun den Unterschied zwischen den Partialsummen und dem Grenzwert der Reihe. Die Differenz zwischen der -ten Partialsumme und dem Reihengrenzwert wird -tes Restglied genannt. Sie entspricht dem Fehler zwischen der -ten Partialsumme und dem Reihengrenzwert.

Die formale Defintion des -ten Restglieds lautet:

 
Definition

-tes Restglied einer Reihe

Sei eine beliebige Reihe. Als -tes Restglied dieser Reihe bezeichnet man die Reihe:

Die Restglieder sehen so aus:

Nun betrachten wir die Folge der Restglieder . Wie verhält sich diese Folge? Wir haben oben schon erwähnt, dass es bei konvergenten Reihen Sinn ergibt, wenn . Dies wird formal über den folgenden Satz festgehalten:

 
Definition

Folge der Restglieder

Sei eine beliebige konvergente Reihe. Dann konvergiert die Folge der Restglieder gegen 0.

 
Hinweis

In der Praxis ist es normalerweise nicht möglich, eine explizite Darstellung für die Restgliederfolge anzugeben. Jedoch können oft Abschätzungen gefunden werden. So werden wir bei alternierenden Reihen mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums eine Fehlerabschätzung der Restglieder für solche Reihen herleiten. Ebenso können bei Taylorreihen Fehlerabschätzungen gefunden werden.

Rechenregeln für Reihen

Wir haben die Reihen als unendliche Summe kennen gelernt. Wie geht man aber mit ihr um? Darf man bei unendlichen Summen dieselben Rechenregeln anwenden, die für endiche Summen gelten? Kann man beispielsweise „wahllos" Klammern setzen und entfernen (Assoziativgesetz der Addition) oder Summanden „nach Lust und Laune“ umordnen (Kommutativgesetz der Addition)? Nein, nicht unbedingt: Wie wir sehen werden, gibt es beim Setzen von Klammern und beim Umordnen von Summanden bei Reihen Einschränkungen. Jedoch gibt es auch nützliche Rechenregeln: So darf man konvergente Reihen miteinander addieren und diese mit einer Konstanten multiplizieren.

Summenregel

 
Formel

Summenregel für Reihen
Seien und zwei konvergente Reihen. Dann gilt

Faktorregel

 
Formel

Faktorregel für Reihen
Sei eine konvergente Reihe und sei eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

Aufteilungsregel

 
Formel

Aufteilungsregel für Reihen
Sei eine Folge. Wenn und konvergieren, dann ist auch konvergent, und es gilt:

Das Assoziativgesetz bei Reihen

Warum es kein allgemeines Assoziativgesetz für Reihen gibt

Bei endlichen Summen ist es dank des Assoziativgesetzes der Addition erlaubt, beliebige Klammern zu setzen. Beispielsweise ist

Analog gilt

Bei unendlichen Reihen müssen wir hingegen aufpassen. Betrachten wir in Analogie die Reihe

Diese Reihe hat die folgende Folge von Partialsummen:

Diese Folge springt zwischen den Werten 0 und 1 hin und her und ist damit divergent (da sie mit 0 und 1 zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt). Durch Setzen von Klammern erhalten wir jedoch eine gegen Null konvergente Reihe:

In einer divergenten Reihe dürfen Klammern nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden, da sonst das Konvergenzverhalten der Reihe verändert werden kann. Obiges Beispiel zeigt auch, dass bei konvergenten Reihen Klammern nicht weggelassen werden dürfen. Die obige Reihe ist konvergent. Wenn wir aber die Klammern weglassen, erhalten wir die Ausgangsreihe , welche divergiert.

Beispiel: Eine Situation, wo Klammern gesetzt werden können

Betrachten wir die konvergente Reihe . Diese Reihe stellt die unendliche Summe dar. Zu ihr gehört die Partialsummenfolge:

Was passiert, wenn wir neue Klammern in der unendlichen Folge einfügen? Beispielsweise können wir zwei benachbarte Summanden durch eine Klammer zusammenfassen und erhalten so den Ausdruck In der Reihenschreibweise erhalten wir Damit erhalten wir folgende Partialsummenformel

Diese Partialsummenfolge ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert die Reihe und damit auch die dazugehörige Partialsummenfolge. Da bei konvergenten Folgen auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, muss auch die neu geklammerte Partialsummenfolge gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Partialsummenfolge konvergieren. Es ist also möglich, Klammern in Reihen zu setzen.

Wann Klammern gesetzt und weggelassen werden können

Wenn wir in einer Reihe benachbarte Summanden durch Klammern zusammenfassen, bevor die Reihe gebildet wird, dann entsteht eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun gilt:

  • Konvergiert eine Folge, dann konvergiert jede Teilfolge.
  • Divergiert eine Teilfolge, dann divergiert auch die ursprüngliche Folge.

Da Klammersetzung in einer Reihe eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge ergibt, erhalten wir:

  • In konvergierenden Reihen können Klammern beliebig gesetzt werden.
  • In divergenten Reihen können Klammern beliebig weggelassen werden.

Wir erhalten den folgenden Satz:

 
Definition

Klammersetzen in Reihen
Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.

Sei eine konvergente Reihe. Sei außerdem eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Hier gibt den Index des ersten Summanden der -ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:

  • Konvergiert so konvergiert auch gegen denselben Grenzwert.
  • Divergiert , so divergiert auch In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.

Harmonische Reihe

Wir betrachten nun die harmonische Reihe Wir werden zunächst deren Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten untersuchen. Anschließend beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen Wachstumsverhalten der Reihe. Außerdem werden wir einige Varianten der Reihe, wie die alternierende harmonische Reihe und die verallgemeinerte harmonische Reihe untersuchen.

Vorüberlegung zur Monotonie und Beschränktheit

In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen dieser Reihe aufgetragen.

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Partialsummen harmonische Reihe [Quelle]

Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d.h. die Differenz zwischen und wird für größer werdende immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl finden können, so dass für alle gilt .

Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d.h. ob die Folge der Partialsummen gegen eine reelle Zahl konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle gilt

Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind. Also ist auch hier die entscheidende Frage, ob die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Harmonische Reihe

Divergenz der harmonischen Reihe

 
Definition

Divergenz der harmonischen Reihe
Die harmonische Reihe divergiert.

Erklärung/Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe

Die Folge ist monoton fallend. Wenn ist, ist Dementsprechend können wir die Summanden geschickt nach unten abschätzen und anschließend zusammenfassen:

ä

Damit ist

Dies zeigt, dass die Folge gegen unendlich strebt und somit divergiert. Eine Folge divergiert, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert. Weil die Teilfolge der harmonischen Reihe divergiert, muss auch die harmonische Reihe divergieren.

Absolute Konvergenz einer Reihe

In diesem Kapitel werden wir mit der absoluten Konvergenz eine neue und stärkere Art der Konvergenz kennenlernen, welche auch bei einer beliebigen Umsortierung der Summanden ihr Konvergenzverhalten nicht ändert, was wir in einem späteren Kapitel genauer betrachten werden.

Motivation

Bei endlichen Summen ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden aufschreibt. Beispielsweise ist das Ergebnis von

dasselbe wie von

Dies gilt aufgrund der Kommutativität der Addition. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen ist. Wenn man endlich oft benachbarte Summanden vertauscht, ändert sich das Ergebnis nicht. Diese Invarianz bzw. „Unveränderlichkeit“ des Werts endlicher Summen gegenüber Summandenvertauschungen geht bei unendlichen Summen (also bei Reihen) verloren. Nehmen wir eine Reihe

Der Wert dieser Reihe kann sich durch eine Umordnung der Summanden ändern. So kann der Wert der folgenden Reihe ein anderer sein, als bei der ursprünglichen Reihe:

Bei einer Umordnung der Summanden kann eine konvergente Reihe sogar divergent werden und umgekehrt. Es stellt sich die Frage: Wann können wir die Summanden einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass ihr Grenzwert oder gar ihr Konvergenzverhalten geändert wird? Für konvergente Reihen über reelle Zahlen kann man diese Frage leicht beantworten:

 
Hinweis

Das Grenzwertverhalten einer reellwertigen und konvergenten Reihe ist genau dann immun gegen eine Umsortierung ihrer Summanden, wenn sie absolut konvergiert.

Definition

Was ist absolute Konvergenz?

 
Definition

absolute Konvergenz
Eine Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn konvergiert.

Eine Reihe ist also genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen werden die Beträge ihrer Summanden so schnell klein, dass die Summe der Beträge beschränkt bleibt (und damit die Reihe konvergiert).

 
Hinweis

Ist für alle , dann ist Die absolute Konvergenz einer Reihe mit ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.

Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert

Absolute Konvergenz ist eine stärkere Form der Konvergenz einer Reihe. Absolut konvergente Reihen sind genau die konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten immun gegen eine Umsortierung der Summanden ist. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Dies zeigen wir im folgenden Satz:

 
Definition

Absolute Konvergenz impliziert normale Konvergenz.
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Beweis
Sei eine absolut konvergente Reihe. Das bedeutet konvergiert. Wir betrachten nun die Reihen als Partialsummenfolgen. In diesem Beweis wollen wir Cauchy-Folgen anwenden. Wir zeigen, dass die Partialsummenfolge der Reihe eine Cauchy-Folge ist. Sei dafür . Da konvergiert, ist die Partialsummenfolge eine Cauchy-Folge. Also gibt es ein , sodass für alle und gilt . Fassen wir die Summen zusammen und nehmen o.B.d.A. an, dass , dann gilt

Nun schätzen wir die Partialsummen der Reihe ab. Seien , so folgt

Also ist eine Cauchy-Folge und konvergiert deshalb. Somit konvergiert auch .

Hinweis: Aus dem Beweis folgt insbesondere , falls die Reihe absolut konvergiert. Es ist nämlich im Fall der absoluten Konvergenz:

Nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent

Wir haben gerade bewiesen, dass jede absolut konvergente Reihe eine konvergente Reihe ist. Die Umkehrung gilt aber nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren. Ein Beispiel ist die alternierende Reihe . Diese Reihe konvergiert, was man mit dem Leibniz-Kriterium beweisen kann. Jedoch ist diese Reihe nicht absolut konvergent, da die divergente harmonische Reihe ist. Merken wir uns also:

 
Hinweis

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert, aber nicht jede konvergente Reihe konvergiert absolut.

Charakteristisches Kriterium für absolute

Konvergenz

Nun möchten wir ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für absolute Konvergenz untersuchen. Jede Reihe lässt sich in ihre positiven und negativen Reihenglieder zerlegen. Formal definieren wir dazu 

und

Ist beispielsweise , so ist

und

Es gilt und damit Die Frage ist nun, wann die beiden Reihen und konvergieren. Dann folgt auch Im folgenden Satz zeigen wir, dass die beiden Reihen genau dann konvergieren, wenn die ursprüngliche Reihe absolut konvergiert.

 
Definition

Kriterium für absolute Konvergenz
Die Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn und konvergieren. In diesem Fall gilt

Absolute Konvergenz einer Reihe

In diesem Kapitel werden wir mit der absoluten Konvergenz eine neue und stärkere Art der Konvergenz kennenlernen, welche auch bei einer beliebigen Umsortierung der Summanden ihr Konvergenzverhalten nicht ändert, was wir in einem späteren Kapitel genauer betrachten werden.

Motivation

Bei endlichen Summen ist es egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden aufschreibt. Beispielsweise ist das Ergebnis von

dasselbe wie von

Dies gilt aufgrund der Kommutativität der Addition. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen ist. Wenn man endlich oft benachbarte Summanden vertauscht, ändert sich das Ergebnis nicht. Diese Invarianz bzw. „Unveränderlichkeit“ des Werts endlicher Summen gegenüber Summandenvertauschungen geht bei unendlichen Summen (also bei Reihen) verloren. Nehmen wir eine Reihe

Der Wert dieser Reihe kann sich durch eine Umordnung der Summanden ändern. So kann der Wert der folgenden Reihe ein anderer sein, als bei der ursprünglichen Reihe:

Bei einer Umordnung der Summanden kann eine konvergente Reihe sogar divergent werden und umgekehrt. Es stellt sich die Frage: Wann können wir die Summanden einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass ihr Grenzwert oder gar ihr Konvergenzverhalten geändert wird? Für konvergente Reihen über reelle Zahlen kann man diese Frage leicht beantworten:

 
Hinweis

Das Grenzwertverhalten einer reellwertigen und konvergenten Reihe ist genau dann immun gegen eine Umsortierung ihrer Summanden, wenn sie absolut konvergiert.

Definition

Was ist absolute Konvergenz?

 
Definition

absolute Konvergenz
Eine Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn konvergiert.

Eine Reihe ist also genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert. Bei absolut konvergenten Reihen werden die Beträge ihrer Summanden so schnell klein, dass die Summe der Beträge beschränkt bleibt (und damit die Reihe konvergiert).

 
Hinweis

Ist für alle , dann ist Die absolute Konvergenz einer Reihe mit ist damit gleichbedeutend mit der Konvergenz dieser Reihe.

Also: Eine Reihe mit ausschließlich nicht negativen Summanden konvergiert genau dann absolut, wenn sie konvergiert.

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert

Absolute Konvergenz ist eine stärkere Form der Konvergenz einer Reihe. Absolut konvergente Reihen sind genau die konvergenten Reihen, deren Konvergenzverhalten immun gegen eine Umsortierung der Summanden ist. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert. Dies zeigen wir im folgenden Satz:

 
Definition

Absolute Konvergenz impliziert normale Konvergenz.
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Beweis
Sei eine absolut konvergente Reihe. Das bedeutet konvergiert. Wir betrachten nun die Reihen als Partialsummenfolgen. In diesem Beweis wollen wir Cauchy-Folgen anwenden. Wir zeigen, dass die Partialsummenfolge der Reihe eine Cauchy-Folge ist. Sei dafür . Da konvergiert, ist die Partialsummenfolge eine Cauchy-Folge. Also gibt es ein , sodass für alle und gilt . Fassen wir die Summen zusammen und nehmen o.B.d.A. an, dass , dann gilt

Nun schätzen wir die Partialsummen der Reihe ab. Seien , so folgt

Also ist eine Cauchy-Folge und konvergiert deshalb. Somit konvergiert auch .

Hinweis: Aus dem Beweis folgt insbesondere , falls die Reihe absolut konvergiert. Es ist nämlich im Fall der absoluten Konvergenz:

Nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent

Wir haben gerade bewiesen, dass jede absolut konvergente Reihe eine konvergente Reihe ist. Die Umkehrung gilt aber nicht: Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren. Ein Beispiel ist die alternierende Reihe . Diese Reihe konvergiert, was man mit dem Leibniz-Kriterium beweisen kann. Jedoch ist diese Reihe nicht absolut konvergent, da die divergente harmonische Reihe ist. Merken wir uns also:

 
Hinweis

Jede absolut konvergente Reihe konvergiert, aber nicht jede konvergente Reihe konvergiert absolut.

Charakteristisches Kriterium für absolute

Konvergenz

Nun möchten wir ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für absolute Konvergenz untersuchen. Jede Reihe lässt sich in ihre positiven und negativen Reihenglieder zerlegen. Formal definieren wir dazu 

und

Ist beispielsweise , so ist

und

Es gilt und damit Die Frage ist nun, wann die beiden Reihen und konvergieren. Dann folgt auch Im folgenden Satz zeigen wir, dass die beiden Reihen genau dann konvergieren, wenn die ursprüngliche Reihe absolut konvergiert.

 
Definition

Kriterium für absolute Konvergenz
Die Reihe konvergiert genau dann absolut, wenn und konvergieren. In diesem Fall gilt

Umordnungssatz für Reihen

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen es erlaubt ist, Reihen umzuordnen, ohne dass sich deren Konvergenzverhalten beziehungsweise deren Grenzwert ändert. Dabei werden wir uns schrittweise, beginnend bei endlichen Summen vorarbeiten. Wir untersuchen zunächst immer konkrete Beispiele, um unsere Überlegungen möglichst verständlich zu machen. Wie im Kapitel zuvor bereits erwähnt, spielt letztendlich die absolute Konvergenz die entscheidende Rolle.

Umordnung endlicher Summen

Bei endlichen Summen ist es kein Problem, die Summanden umzuordnen. Der Grund hierfür ist, dass sich das „Kommutativgesetz der Addition “ beliebig oft hintereinander anwenden lässt. Betrachten wir als konkretes Beispiel die Summe

Ordnen wir die Summe nun so um, dass auf ein positives immer zwei negative Summenglieder folgen, ergibt sich

Etwas formaler können wir dies folgendermaßen formulieren: Ist die Bijektion mit

so gilt

Damit können wir für auf beliebige Summen und beliebige Bijektionen ein verallgemeinertes Kommutativgesetz formulieren:

Das Problem bei Reihen

Bevor wir uns der Problematik bei Reihen zuwenden, wollen wir den Begriff der Umordnung einer Reihe zunächst sauber definieren:

 
Definition

Umordnung einer Reihe
Sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe eine Umordnung der Reihe .

Beispiel

Umordnung einer Reihe
Betrachten wir die harmonische Reihe . Dann entspricht die Reihe

der Umordnung mit der durch

ü

definierten Permutation.

Es wäre natürlich gut, wenn wir das verallgemeinerte Kommutativgesetz von oben auf unendliche Reihen verallgemeinern könnten. Betrachten wir als Beispiel die alternierende harmonische Reihe

Mit weiteren Hilfsmitteln kann man zeigen, dass sie gegen konvergiert.

Konvergiert jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert? Wir wählen dieselbe Umordnung wie oben: Auf jeden positiven Summanden der Reihe lassen wir zwei negative folgen:

Im Kapitel zu den Rechenregeln für Reihen hatten wir gezeigt, dass sich das Konvergenzverhalten und der Grenzwert einer konvergenten Reihe nicht ändern, wenn wir Klammern setzen. Daher konvergiert die Reihe, in der wir immer drei Summanden durch Klammern zusammenfassen, gegen denselben Grenzwert:

Diese lässt sich wie folgt umformen:

Wir sehen also, dass die umgeordnete Reihe nicht gegen , sondern gegen konvergiert.

 
Hinweis

Ordnet man eine konvergente Reihe um, so kann diese Umordnung gegen einen anderen Grenzwert konvergieren.

Umordnung von Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Bei den Beispielen von oben bestand bei den Umordnungen das Problem, dass die Reihe alternierend war. Daher konnten bei den Umordnungen so viele positive Summanden hintereinander „gepackt“ werden, dass die umgeordnete Reihe gegen einen anderen Grenzwert konvergiert bzw. sogar divergiert. Dieses Problem sollte bei Reihen mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Gliedern nicht auftreten.

 
Definition

Umordungssatz für nichtnegative Reihen
Sei eine konvergente Reihe mit für alle . Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.

 
Hinweis

Analog konvergiert auch jede Umordnung einer konvergenten Reihe mit nichtpositiven Gliedern gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe.

Umordnung absolut konvergenter Reihen

Die Frage ist nun, ob wir die Voraussetzungen für unseren Umordnungssatz noch verallgemeinern können. Deshalb gibt es auch konvergente Reihen mit negativen Gliedern (beispielsweise alternierende), die beliebig umgeordnet werden können und dabei immer gegen denselben Grenzwert konvergieren? Die Antwort ist ja! Betrachten wir hierzu das Beispiel der alternierenden Reihe . Die entscheidende Eigenschaft dieser Reihe ist, dass sie absolut konvergiert, da konvergiert. Nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern aus dem vorherigen Abschnitt konvergiert damit auch jede Umordnung gegen denselben Grenzwert. Da jede absolut konvergente Reihe konvergiert, konvergiert auch jede Umordnung der ursprünglichen Reihe

Wir müssen nun nur noch zeigen, dass jede dieser Umordnungen gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu benutzen wir das charakteristische Kriterium für absolute Konvergenz. Dieses besagt, dass eine Reihe genau dann absolut konvergiert, wenn die Reihen ihrer nichtnegativen Glieder und ihrer nichtpositiven Glieder konvergieren. Da jede Umordnung absolut konvergiert, konvergieren auch die Reihen und . Weiter gilt

und

Damit folgt aber nun

Also konvergiert die umgeordnete Reihe tatsächlich gegen denselben Grenzwert.

Umordnung konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen

Nun bleibt lediglich noch die Frage offen, ob umgekehrt eine unbedingt konvergente Reihe, d.h. eine Reihe, von der jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert, auch absolut konvergent ist. Wir überlegen uns dazu die Kontraposition dieser Aussage:

 
Hinweis

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so ist diese bedingt konvergent, d.h. es gibt eine divergente Umordnung dieser Reihe.

Zunächst stellen wir fest:

 
Definition

Ist eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so sind die Reihen und beide divergent.

Diesen Satz wollen wir nun verwenden, um zu zeigen, dass es zu jeder konvergenten, jedoch nicht absolut konvergenten Reihe eine Umordnung dieser Reihe gibt, die divergiert. Dies wollen wir zunächst an unserem „Lieblingsbeispiel", der alternierenden harmonischen Reihe demonstrieren. Wir konstruieren eine Umordnung , die gegen divergiert. Dazu summieren wir solange positive Summanden auf, bis wir überschreiten. Danach summieren wir einen der negativen Summanden, und anschlieBend wieder genügend positive Summanden, um zu überschreiten. Dieses Spiel setzen wir nun beliebig fort, und erhalten so eine Umordnung, die gegen divergiert. Auf Grund des obigen Satzes ist es auch möglich, die Umordnung beliebig „groß" zu machen, da wir ja wissen, dass die Reihe der positiven Glieder (gegen unendlich) divergiert.

Konkret lautet unsere Umordnung wie folgt:

Auf diese Weise erhalten wir zu jedem ein mit . Die umgeordnete Reihe divergiert daher (gegen unendlich).
Dieses Konzept können wir allgemein auf bedingt divergente Reihen übertragen:

 
Definition

Sei eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die divergiert.

 
Hinweis

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen konvergiert.

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen konvergiert.

Nehmen wir die beiden vorangegangenen Sätze zusammen erhalten wie die allgemeinste Form des Umordnungssatzes:

 
Definition

Umordnungssatz - Allgemeine Form

Es konvergiert genau dann jede Umordnung einer konvergenten Reihe , wenn diese Reihe absolut konvergiert.
Anders ausgedrückt: Eine konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.

Umordnung konvergenter Reihen gegen beliebigen Grenzwert

Zum Abschluss zeigen wir noch, dass man eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so umordnen kann, dass sie gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert. Als Beispiel ordnen wir unser Lieblingsbeispiel, die alternierende harmonische Reihe so um, dass sie gegen 42 konvergiert.

Wir benutzen, dass die Reihe der positiven Glieder (gegen unendlich) divergiert.

Wir starten und wählen zunächst das kleinst mögliche so, dass ist. Für unsere Umordnung bedeutet dies für Dann ist

Nun setzen wir , d.h. , der erste negative Summand der Reihe . Dann gilt .

Anschließend wählen wir nun das kleinste mit , so dass wieder gilt . Setzen wir für , so ist .

Nun setzen wir den zweiten negativen Summanden . Damit gilt erneut .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe mit

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen 42 , denn es gilt für :

Für gilt und daher folgt mit dem Sandwichsatz:

Trivialkriterium

In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium, welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe , bei keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe muss zwangsweise sein.

Trivialkriterium

 
Definition

Trivialkriterium
Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe divergieren muss, falls divergiert oder ist.

Beispiel

Die Reihe divergiert, weil die Folge divergent ist (sie besitzt mit 1 und -1 mehr als einen Häufungspunkt und kann deshalb nicht konvergieren).

Auch die Reihe divergiert, weil ist.

 
Hinweis

Dass eine Folge eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe .

Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass kann nicht gefolgert werden, dass konvergiert. Beispielsweise ist die harmonische Reihe divergent, auch wenn ist.

Beweis des Trivialkriteriums über Teleskopsumme

Wir nehmen an, dass eine konvergente Reihe ist. Nun wollen wir zeigen, dass eine Nullfolge ist.

Die Koeffizientenfolge lässt sich als Differenz der beiden Partialsummen und schreiben:

Nun gilt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert. Also ist

Ebenso gilt , da sich der Grenzwert bei Verschiebung der Folgenglieder nicht ändert. Zusammen erhalten wir nun:

Also ist eine Nullfolge.

Anwendung der Konvergenzkriterien

Viele Dozenten stellen gerne Aufgaben, in denen die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe bewiesen werden muss. Auf dieser Seite sammeln wir einige Tipps und Tricks, die dir bei solchen Aufgaben helfen. Sie zeigen auch exemplarisch, wie erfahrene Mathematiker Konvergenzaufgaben angehen. Anschließend werden wir diese Vorgehensweisen an mehreren Anwendungsbeispielen veranschaulichen.

Tipps zur Bestimmung des
Konvergenzverhaltens

Trivialkriterium überprüfen

Überprüfe zunächst, ob du das Trivialkriterium anwenden kannst. Dieses besagt, dass jede Reihe , bei der die Folge nicht gegen null konvergiert, divergieren muss. Bestimme also zunächst den Grenzwert von . Wenn dieser Grenzwert nicht existiert oder wenn dieser Grenzwert ungleich null ist, dann divergiert die Reihe Es kann allerdings vorkommen, dass die Bauart der Folge kompliziert ist, um das Konvergenzverhalten ohne großen Aufwand feststellen zu können. In diesem Fall müssen wir auf die anderen Konvergenzkriterien zurückgreifen. Ist eine Nullfolge, so müssen wir ebenfalls ein anderes Kriterium anwenden.

Quotientenkriterium

Bei Reihen der Form lohnt sich oft eine Überprüfung mit dem Quotientenkriterium. Wenn limsup 1, dann konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut. Ist , dann divergiert die Reihe. Gilt jedoch lim inf , so ist keine Konvergenzaussage möglich und wir müssen andere Konvergenzkriterien in Betracht ziehen.

Wurzelkriterium bei Reihen über Potenzen

Bei einer Reihe über einer Potenz der Form oder ist oft das Wurzelkriterium hilfreich. Dieses besagt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn limsup bzw. lim sup ist. Ist lim sup bzw. , so divergiert die Reihe. Konvergiert die Folge bzw. , so gelten die entsprechenden Aussagen mit lim, statt lim sup. Ist der Limes Superior gleich 1, dann ist das Wurzelkriterium, genau wie das Quotientenkriterium, nicht anwendbar.

Leibnizkriterium bei alternierenden Reihen

Bei alternierenden Folgen kann oft das Leibniz-Kriterium angewandt werden. Dieses besagt, dass jede Reihe der Form oder der Form konvergiert, wenn die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist. Wichtig ist, dass beide Eigenschaften (monoton fallend und Nullfolge) erfüllt sind. Ist keine Nullfolge, so divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium. Ist eine Nullfolge, jedoch nicht monton fallend, so kann die Reihe konvergieren oder divergieren. Dies muss mit einem der anderen Kriterien überprüft werden. Außerdem müssen wir beachten, dass wir mit dem Leibniz-Kriterium nur die Konvergenz und nicht die absolute Konvergenz der Reihe folgern können. Diese muss zusätzlich noch gezeigt bzw. widerlegt werden. Oftmals ist das mit dem Majorantenbzw. Minorantenkriterium möglich.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Die beiden Kriterien lassen sich häufig bei Reihen der Form anwenden, wobei und Polynomfunktionen sind. Das Quotienten-sowie das Wurzelkriterium versagen bei Reihen dieser Form. Als Majorante eignet sich häufig die konvergente Reihe und als divergente Minorante die harmonische Reihe . Ansonsten ist auch jede Reihe mit als Majorante und jede Reihe mit als Minorante geeignet. Um eine geeignete Majorante zu finden, müssen wir den Zähler nach oben und den Nenner nach unten abschätzen. Um eine geeignete Minorante zu finden, funktioniert es genau umgekehrt. Als Anhaltspunkt, ob die Reihe konvergiert oder divergiert, gilt die folgende Merkregel: Ist grad , so konvergiert die Reihe und wir können das Majorantenkriterium anwenden. Gilt hingegen , so divergiert die Reihe. In diesem Fall können wir das Minorantenkriterium anwenden. Dabei bezeichnet grad bzw. grad die größte Potenz des Polynoms bzw. .

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