In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium, welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe , bei keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe muss zwangsweise sein.
Trivialkriterium
Definition
Trivialkriterium Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe divergieren muss, falls divergiert oder ist.
Beispiel
Die Reihe divergiert, weil die Folge divergent ist (sie besitzt mit 1 und -1 mehr als einen Häufungspunkt und kann deshalb nicht konvergieren).
Auch die Reihe divergiert, weil ist.
Hinweis
Dass eine Folge eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe .
Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass kann nicht gefolgert werden, dass konvergiert. Beispielsweise ist die harmonische Reihe divergent, auch wenn ist.
Beweis des Trivialkriteriums über Teleskopsumme
Wir nehmen an, dass eine konvergente Reihe ist. Nun wollen wir zeigen, dass eine Nullfolge ist.
Die Koeffizientenfolge lässt sich als Differenz der beiden Partialsummen und schreiben:
Nun gilt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert. Also ist
Ebenso gilt , da sich der Grenzwert bei Verschiebung der Folgenglieder nicht ändert. Zusammen erhalten wir nun:
