Viele Dozenten stellen gerne Aufgaben, in denen die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe bewiesen werden muss. Auf dieser Seite sammeln wir einige Tipps und Tricks, die dir bei solchen Aufgaben helfen. Sie zeigen auch exemplarisch, wie erfahrene Mathematiker Konvergenzaufgaben angehen. Anschließend werden wir diese Vorgehensweisen an mehreren Anwendungsbeispielen veranschaulichen.
Tipps zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens
Trivialkriterium überprüfen
Überprüfe zunächst, ob du das Trivialkriterium anwenden kannst. Dieses besagt, dass jede Reihe , bei der die Folge nicht gegen null konvergiert, divergieren muss. Bestimme also zunächst den Grenzwert von . Wenn dieser Grenzwert nicht existiert oder wenn dieser Grenzwert ungleich null ist, dann divergiert die Reihe Es kann allerdings vorkommen, dass die Bauart der Folge kompliziert ist, um das Konvergenzverhalten ohne großen Aufwand feststellen zu können. In diesem Fall müssen wir auf die anderen Konvergenzkriterien zurückgreifen. Ist eine Nullfolge, so müssen wir ebenfalls ein anderes Kriterium anwenden.
Quotientenkriterium
Bei Reihen der Form lohnt sich oft eine Überprüfung mit dem Quotientenkriterium. Wenn limsup 1, dann konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut. Ist , dann divergiert die Reihe. Gilt jedoch lim inf , so ist keine Konvergenzaussage möglich und wir müssen andere Konvergenzkriterien in Betracht ziehen.
Wurzelkriterium bei Reihen über Potenzen
Bei einer Reihe über einer Potenz der Form oder ist oft das Wurzelkriterium hilfreich. Dieses besagt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn limsup bzw. lim sup ist. Ist lim sup bzw. , so divergiert die Reihe. Konvergiert die Folge bzw. , so gelten die entsprechenden Aussagen mit lim, statt lim sup. Ist der Limes Superior gleich 1, dann ist das Wurzelkriterium, genau wie das Quotientenkriterium, nicht anwendbar.
Leibnizkriterium bei alternierenden Reihen
Bei alternierenden Folgen kann oft das Leibniz-Kriterium angewandt werden. Dieses besagt, dass jede Reihe der Form oder der Form konvergiert, wenn die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist. Wichtig ist, dass beide Eigenschaften (monoton fallend und Nullfolge) erfüllt sind. Ist keine Nullfolge, so divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium. Ist eine Nullfolge, jedoch nicht monton fallend, so kann die Reihe konvergieren oder divergieren. Dies muss mit einem der anderen Kriterien überprüft werden. Außerdem müssen wir beachten, dass wir mit dem Leibniz-Kriterium nur die Konvergenz und nicht die absolute Konvergenz der Reihe folgern können. Diese muss zusätzlich noch gezeigt bzw. widerlegt werden. Oftmals ist das mit dem Majorantenbzw. Minorantenkriterium möglich.
Majoranten- und Minorantenkriterium
Die beiden Kriterien lassen sich häufig bei Reihen der Form anwenden, wobei und Polynomfunktionen sind. Das Quotienten-sowie das Wurzelkriterium versagen bei Reihen dieser Form. Als Majorante eignet sich häufig die konvergente Reihe und als divergente Minorante die harmonische Reihe . Ansonsten ist auch jede Reihe mit als Majorante und jede Reihe mit als Minorante geeignet. Um eine geeignete Majorante zu finden, müssen wir den Zähler nach oben und den Nenner nach unten abschätzen. Um eine geeignete Minorante zu finden, funktioniert es genau umgekehrt. Als Anhaltspunkt, ob die Reihe konvergiert oder divergiert, gilt die folgende Merkregel: Ist grad , so konvergiert die Reihe und wir können das Majorantenkriterium anwenden. Gilt hingegen , so divergiert die Reihe. In diesem Fall können wir das Minorantenkriterium anwenden. Dabei bezeichnet grad bzw. grad die größte Potenz des Polynoms bzw. .
