Grundlagen der Molekülspektroskopie

 Rotations-Schwingungs-Spektrum

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

Komposition

Zentrales, ebenes Kräftesystem

Anfangswertproblem

Ableitungsregeln

Baustatik

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Vereinfachung von Thermen

Prozentrechnung

Umrechnung von Einheiten

Mehrdimensionale Stetigkeit

Einfache Folgen

Kombinierte Aufgaben

Polynomdivision

Quadratische Funktionen

Nullstellen - Quadratische Funktionen

<p>3 Aufgaben in Auer/Seitz - Grundkurs Wirtschaftsmathematik</p>
<p>&nbsp;</p>

Horner Schema

Harmonischer Oszillator

<ol>
<li>\[ \left|\psi_{1}\right|^{2}=88, \overline{8} \% \]</li>
<li>\[<br />\Delta x \cdot \Delta p=\frac{\hbar}{2}<br />\]</li>
</ol>

<p>Numerische Integration für $ N $ äquidistante Stützwerte $ (1,2, \ldots, N) $</p>


<p>Numerische Integration für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" N " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.009ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 888 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D441" xlink:href="#MJX-10-TEX-I-1D441"></use></g></g></g></svg></mjx-container> äquidistante Stützwerte <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (1,2, \ldots, N) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.078ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5338.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-11-TEX-I-1D441" d="M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z"></path><path id="MJX-11-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(889,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1333.7,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1833.7,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2278.3,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3617,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-11-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4061.7,0)"><use data-c="1D441" 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<p><strong>TRAPEZ-Regel</strong></p>
<p>\[<br /> \quad \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{N-1}\left(\frac{1}{2} y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots+x_{N-1}+\frac{1}{2} y_{N}\right)<br />\]</p>


<p><strong>TRAPEZ-Regel</strong></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
 \quad \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{N-1}\left(\frac{1}{2} y_{1}+y_{2}+y_{3}+\ldots+x_{N-1}+\frac{1}{2} y_{N}\right)
" style="vertical-align: -2.148ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="60.592ex" height="5.72ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1578.8 26781.8 2528.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 114 -798Z"></path><path id="MJX-12-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 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<p><strong>SIMPSON-Regel</strong></p>
<p>\[  \quad \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{3(N-1)}\left(y_{1}+4 y_{2}+2 y_{3}+4 y_{4}+2 y_{5}+\ldots+4 x_{N-1}+y_{N}\right) \)</p>


<p><strong>SIMPSON-Regel</strong></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="  \quad \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{3(N-1)}\left(y_{1}+4 y_{2}+2 y_{3}+4 y_{4}+2 y_{5}+\ldots+4 x_{N-1}+y_{N}\right) " style="vertical-align: -2.172ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="73.04ex" height="5.744ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1578.8 32283.8 2538.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-13-TEX-LO-222B" d="M114 -798Q132 -824 165 -824H167Q195 -824 223 -764T275 -600T320 -391T362 -164Q365 -143 367 -133Q439 292 523 655T645 1127Q651 1145 655 1157T672 1201T699 1257T733 1306T777 1346T828 1360Q884 1360 912 1325T944 1245Q944 1220 932 1205T909 1186T887 1183Q866 1183 849 1198T832 1239Q832 1287 885 1296L882 1300Q879 1303 874 1307T866 1313Q851 1323 833 1323Q819 1323 807 1311T775 1255T736 1139T689 936T633 628Q574 293 510 -5T410 -437T355 -629Q278 -862 165 -862Q125 -862 92 -831T55 -746Q55 -711 74 -698T112 -685Q133 -685 150 -700T167 -741Q167 -789 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<p><strong>Mittlere Abweichung vom Mittelwert:</strong></p>
<p>\[  \quad \Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}} \)</p>


<p><strong>Mittlere Abweichung vom Mittelwert:</strong></p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="  \quad \Delta x=\sqrt{\left\langle x^{2}\right\rangle-\langle x\rangle^{2}} " style="vertical-align: -1.199ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.616ex" height="4.208ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1330.2 9554.1 1860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-14-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-14-TEX-LO-221A" d="M1001 1150Q1017 1150 1020 1132Q1020 1127 741 244L460 -643Q453 -650 436 -650H424Q423 -647 423 -645T421 -640T419 -631T415 -617T408 -594T399 -560T385 -512T367 -448T343 -364T312 -259L203 119L138 41L111 67L212 188L264 248L472 -474L983 1140Q988 1150 1001 1150Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-27E8" d="M333 -232Q332 -239 327 -244T313 -250Q303 -250 296 -240Q293 -233 202 6T110 250T201 494T296 740Q299 745 306 749L309 750Q312 750 313 750Q331 750 333 732Q333 727 243 489Q152 252 152 250T243 11Q333 -227 333 -232Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-27E9" d="M55 732Q56 739 61 744T75 750Q85 750 92 740Q95 733 186 494T278 250T187 6T92 -240Q85 -250 75 -250Q67 -250 62 -245T55 -232Q55 -227 145 11Q236 248 236 250T145 489Q55 727 55 732Z"></path><path id="MJX-14-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1000,0)"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2682.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msqrt" transform="translate(3738.6,0)"><g transform="translate(1020,0)"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="27E8" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-27E8"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1397.6,0)"><use data-c="27E9" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-27E9"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2008.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3009,0)"><use data-c="27E8" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-27E8"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3398,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-14-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3970,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="27E9" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-27E9"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,289) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,120.2)"><use data-c="221A" xlink:href="#MJX-14-TEX-LO-221A"></use></g><rect width="4795.6" height="60" x="1020" y="1210.2"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[ \quad \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \]</p>
<p>\[ \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2 a^{3 / 2}} \]</p>
<p>\[ \quad \int_{-\infty}^{\infty} x^{4} \mathrm{e}^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{3 \sqrt{\pi}}{4 a^{3 / 2}} \]</p>


<p>1. Wahrscheinlichkeit für Proton im 1.Schingungszustand</p>


<p>\[<br />\left|\psi_{1}\right|^{2}=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left[\frac{(-1) \mathrm{e}^{y^{2} / 2}}{\sqrt{2 \sqrt{\pi}}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \mathrm{e}^{-y^{2}}\right]^{2} \mathrm{~d} y\]</p>


<p>\[\quad \quad \ =\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left[\frac{2 y \mathrm{e}^{y^{2} / 2}}{\sqrt{2 \sqrt{\pi}}} \mathrm{e}^{-y^{2}}\right]^{2} \mathrm{~d} y\]</p>


<p>\[\quad \quad \ =\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{2 y^{2} \mathrm{e}^{-y^{2}}}{\sqrt{\pi}} \mathrm{d} y<br />\]</p>


<p>\[ E_{1}=\hbar \omega\left(1+\frac{1}{2}\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{2} m \omega x^{2} \]</p>


<p>\[\Rightarrow 3=\frac{m \omega x^{2}}{\hbar}=y^{2} \]</p>


<p>\[\Rightarrow y_{1,2}=\pm \sqrt{3} \)</p>


<p>Durch händische oder numerische Auswertung mit einem Mathematikprogramm wie Maple, Mathcad oder Mathematica folgt:</p>


<p>\[\quad \left|\psi_{1}\right|^{2}=88, \overline{8} \% \]</p>


<p>2. Abweichung von Ort $ \Delta x $ und Impuls $ \Delta p $ bezüglich Erwartungswerten</p>


<p>2. Abweichung von Ort <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \Delta x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.179ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1405 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-25-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-25-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-25-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-25-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und Impuls <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \Delta p " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.023ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1336 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-26-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-26-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-26-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-26-TEX-I-1D45D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bezüglich Erwartungswerten</p>


<p>Mit $ \psi^{*} \cdot \psi=|\psi|^{2} $ und $ y^{2}=x^{2} \frac{m \omega}{\hbar} $ folgt für $(\Delta x)^{2}$</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \psi^{*} \cdot \psi=|\psi|^{2} " style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.303ex" height="2.451ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 5438.1 1083.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-27-TEX-I-1D713" d="M161 441Q202 441 226 417T250 358Q250 338 218 252T187 127Q190 85 214 61Q235 43 257 37Q275 29 288 29H289L371 360Q455 691 456 692Q459 694 472 694Q492 694 492 687Q492 678 411 356Q329 28 329 27T335 26Q421 26 498 114T576 278Q576 302 568 319T550 343T532 361T524 384Q524 405 541 424T583 443Q602 443 618 425T634 366Q634 337 623 288T605 220Q573 125 492 57T329 -11H319L296 -104Q272 -198 272 -199Q270 -205 252 -205H239Q233 -199 233 -197Q233 -192 256 -102T279 -9Q272 -8 265 -8Q106 14 106 139Q106 174 139 264T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Q21 299 34 333T82 404T161 441Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-2217" d="M229 286Q216 420 216 436Q216 454 240 464Q241 464 245 464T251 465Q263 464 273 456T283 436Q283 419 277 356T270 286L328 328Q384 369 389 372T399 375Q412 375 423 365T435 338Q435 325 425 315Q420 312 357 282T289 250L355 219L425 184Q434 175 434 161Q434 146 425 136T401 125Q393 125 383 131T328 171L270 213Q283 79 283 63Q283 53 276 44T250 35Q231 35 224 44T216 63Q216 80 222 143T229 213L171 171Q115 130 110 127Q106 124 100 124Q87 124 76 134T64 161Q64 166 64 169T67 175T72 181T81 188T94 195T113 204T138 215T170 230T210 250L74 315Q65 324 65 338Q65 353 74 363T98 374Q106 374 116 368T171 328L229 286Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path><path id="MJX-27-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(684,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2217" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-2217"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1309.8,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1810,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2738.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3794.6,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4072.6,0)"><use data-c="1D713" xlink:href="#MJX-27-TEX-I-1D713"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4723.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7C" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-7C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(311,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-27-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y^{2}=x^{2} \frac{m \omega}{\hbar} " style="vertical-align: -0.801ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.79ex" height="2.688ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 4769.3 1188.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-28-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 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scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-29-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[(\Delta x)^{2}=\left\langle\hat{x}^{2}\right\rangle-\langle\hat{x}\rangle^{2}=\left\langle\psi\left|\hat{x}^{2}\right| \psi\right\rangle-\langle\psi|\hat{x}| \psi\rangle^{2}<br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \quad \ \ \, =\left(\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{-x^{2}(m \omega / \hbar)} \mathrm{d} x\right)-(\underbrace{\left.\int_{-\infty} x\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{-x^{2}(m \omega / \hbar)}\right)^{2}}_{\text {ungerade Funktion: }\langle\mathrm{x}\rangle=0 !}\]</p>


<p>\[\quad \quad \ \ \, =\frac{\hbar}{2 m \omega}<br />\]</p>


<p>Weiter gilt für $(\Delta p)^{2}$</p>


<p>Weiter gilt für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(\Delta p)^{2}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.77ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 2550.6 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-33-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-33-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-33-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(389,0)"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1222,0)"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-33-TEX-I-1D45D"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1725,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-33-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[(\Delta p)^{2}=\left\langle\hat{p}^{2}\right\rangle-\langle\hat{p}\rangle^{2} =\left\langle\psi\left|\hat{p}^{2}\right| \psi\right\rangle-\underbrace{\langle\psi|\hat{p}| \psi\rangle^{2}}_{0}\]</p>


<p>\[\quad \quad \quad =\int_{-\infty}^{\infty}\left[\psi \cdot(-\mathrm{i} \hbar)^{2} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} x^{2}} \psi \mathrm{d} x\right]\]</p>


<p>\[\quad \quad \quad =\frac{\hbar m \omega}{2}<br />\]</p>


<p>Schlussendlich ergibt sich darauf für den Ausdruck $\Delta x \cdot \Delta p$</p>


<p>Schlussendlich ergibt sich darauf für den Ausdruck <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\Delta x \cdot \Delta p" style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.836ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 3463.4 910" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-37-TEX-N-394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path><path id="MJX-37-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-37-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-37-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1627.2,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2127.4,0)"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-37-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2960.4,0)"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-37-TEX-I-1D45D"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\Delta x \cdot \Delta p=\sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega} \cdot \frac{\hbar m \omega}{2}}=\frac{\hbar}{2}<br />\]</p>

<p>Die Wellenfunktion $ \psi_{v}=\frac{(-1)^{v} \mathrm{e}^{2 / 2}}{\sqrt{\sqrt{\pi} v ! 2^{v}}} \frac{\mathrm{d}^{v}}{\mathrm{~d} y^{v}} \mathrm{e}^{-y^{2}} $ mit $ y=x \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} $ beschreibt den $ v $-ten Quantenzustand eines harmonischen Oszillators mit den Energieeigenwerten $ E_{v}=\hbar \omega\left(v+\frac{1}{2}\right) $.</p>
<ol>
<li>Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man ein Proton im 1. angeregten klassischen Schwingungszustand vor?</li>
<li>Wie stark weichen Ort $ \Delta x $ und Impuls $ \Delta p $ von den Erwartungswerten $ \langle x\rangle $ und $ \langle p\rangle $ für den Zustand $ \psi=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} \mathrm{e}^{-y^{2} / 2} \mathrm{ab} $?</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Grundlagen der Molekülspektroskopie mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: