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Aufgabenstellung:

  1. Beschreiben Sie die Bewegung eines zweiatomiges Moleküls AB in Kugelkoordinaten von und . Die Wechselwirkung sei ein MORSE-Potential V. Wie lauten: kinetische Energie , LAGRANGE-Funktion , generalisierter Impuls, LAGRANGE-Gleichungen und HAMILTON-Funktion?
  2. Berechnen Sie die Bewegung des Moleküls für folgende Anfangsbedingungen :
    1. Schwerpunkt ruht anfangs:
    2. Molekül anfangs in der -Ebene:
    3. Molekül rotiert anfangs mit dem Drehimpuls
    4. Der Relativabstand des Moleküls läuft anfangs auf einer Kugel mit dem Radius

Lösungsweg:

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Tipp

Kugelkoordinaten umfassen den Ortsvektor des Schwerpunktes , den ebenen Winkel zwischen und dem Abstand , den Winkel zwischen und -Achse

1. Bewegungsgleichung in Kugelkoordinaten, kinetische Energie , LAGRANGE-Funktion generalisierter Impuls, LAGRANGE-Gleichungen und HAMILTON-Funktion

Kugelkoordinaten:

Kinetische Energie:

mit und folgt:

Generalisierter Impuls

LAGRANGE-Gleichungen

HAMILTON-Funktion:

HAMILTON-Gleichungen:

2. Bewegung des Moleküls

Setzen Sie in die LAGRANGE-Gleichungen die Anfangsbedingungen der Teilaufgaben ein.

a) Schwerpunkt ruht anfags

Ruht der Schwerpunkt am Anfang, so bleibt er ruhend.

b) Molekül anfangs in der -Ebene:

Das rotierende System verlässt die Rotationsebene nicht.

wenn

c) Molekül rotiert anfang

Gleichförmige Rotation des Moleküls unter Drehimpulserhaltung:

d) Relativabstand des Moleküls läuft anfangs auf einer Kugel

Unter den Anfangsbedingungen rotiert das Molekül ohne Schwingungen:

für

Lösung:

siehe Lösungsweg