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Aufgabenstellung:

Im HI-Molekül wirkt entlang der Bindung die Kraft

  1. Diskutieren Sie die Kraft-Weg-Kurve: Bestimmen Sie Asymptoten, Nullstellen und Extrema.
  2. Warum ist die Kraft konservativ?
  3. Diskutieren Sie den Verlauf des Potentials . Berechnen Sie die TAYLOR-Reihe.
  4. Wie lautet die Kraftkonstante? Mit welcher Frequenz schwingt das Molekül?

Lösungsweg:

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Tipp

Kurvendiskussion

Nullstellen: Die Funktion setzen und nach auflösen.
Maximum/Minimum: Die 1 . Ableitung der Funktion setzen, nach auflösen.
Asymptoten: Den Grenzwert für große berechnen.

Kraftfelder

Vektor = Betrag Einheitsvektor:

und

Potential eines Kraftfeldes:

TAYLOR-Entwicklung, z. B. harmonische Näherung eines Potentials:

Kraftkonstante:

1. Asymptoten, Nullstellen und Extrema

Skizze: Gezeichnet wird der Betrag der Kraft , d. h. der Einheitsvektor entfällt.

Abbildung

Asymptote:

Nullstellen:

für

Minimum:

für 

2. Begründung: Warum ist die Kraft konservativ

Das Feld ist konservativ (wirbelfrei), wenn rot

Kontrolle: Bilde die partiellen Ableitungen, z. B. :

3. Verlauf des Potentials diskutieren. TAYLOR-Reihe berechnen.

Durch Integration der Kraft erhält man das Potential (potentielle Energie) der Bindung. Das Energieminimum liegt beim Gleichgewichtsabstand .
Die Tiefe des Potentialtopfes heißt Dissoziationsenergie .

Potential aufstellen:

Asymptote: 

Nullstellen: 

bei

Minimum:

bei

Wendepunkt:

bei

Näherung der Potentialfunktion durch eine TAYLOR-Reihe bis zur 2. Ableitung. Die erste Ableitung ist die Kraft; sie ist bei gleich null. Die zweite Ableitung an der Stelle muss berechnet werden.

Man erhält die harmonische Naherung der Potentialfunktion:

4. Kraftkonstante und Frequenz bei der das Molekül schwinkt

Kraft- oder Federkonstante:

Schwingungsfrequenz:

mit :

Es folgt für die gesuchte Frequenz

Lösung:

Siehe Musterlösung.