MIMO-System

Sensitivität

Sprungfunktion

Schwingung

Laplace-Transformation

Linearisierung nichtlinearer Systeme

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\[<br />f(t)=\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\left(1-(-1)^{k}\right) \sin (k \omega t) <br />\]</p>

<p>Für das Rechtecksignal in der Abbildung gilt</p>


<p>\( f(t)= \begin{cases}0, &amp; t=0, T / 2, T \\ 1, &amp; 0 &lt; t &lt; T / 2 \\ -1, &amp; T / 2 &lt; t &lt; T\end{cases}\)</p>


<p>Es handelt sich also um eine ungerade Funktion mit \( f(-t)=-f(t) \) für alle \( t \in \mathbb{R}. \) Somit folgt \( a_{0}=a_{k}=0 \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) und für \( b_{k} \) gilt</p>


<p>Es handelt sich also um eine ungerade Funktion mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f(-t)=-f(t) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.18ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6267.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2433-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2433-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(939,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1717,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2078,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2744.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3800.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4578.6,0)"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5128.6,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5517.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2433-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5878.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2433-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" t \in \mathbb{R}. " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.845ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2583.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2434-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2434-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2434-TEX-D-211D" d="M17 665Q17 672 28 683H221Q415 681 439 677Q461 673 481 667T516 654T544 639T566 623T584 607T597 592T607 578T614 565T618 554L621 548Q626 530 626 497Q626 447 613 419Q578 348 473 326L455 321Q462 310 473 292T517 226T578 141T637 72T686 35Q705 30 705 16Q705 7 693 -1H510Q503 6 404 159L306 310H268V183Q270 67 271 59Q274 42 291 38Q295 37 319 35Q344 35 353 28Q362 17 353 3L346 -1H28Q16 5 16 16Q16 35 55 35Q96 38 101 52Q106 60 106 341T101 632Q95 645 55 648Q17 648 17 665ZM241 35Q238 42 237 45T235 78T233 163T233 337V621L237 635L244 648H133Q136 641 137 638T139 603T141 517T141 341Q141 131 140 89T134 37Q133 36 133 35H241ZM457 496Q457 540 449 570T425 615T400 634T377 643Q374 643 339 648Q300 648 281 635Q271 628 270 610T268 481V346H284Q327 346 375 352Q421 364 439 392T457 496ZM492 537T492 496T488 427T478 389T469 371T464 361Q464 360 465 360Q469 360 497 370Q593 400 593 495Q593 592 477 630L457 637L461 626Q474 611 488 561Q492 537 492 496ZM464 243Q411 317 410 317Q404 317 401 315Q384 315 370 312H346L526 35H619L606 50Q553 109 464 243Z"></path><path id="MJX-2434-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-2434-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(638.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2434-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1583.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="211D" xlink:href="#MJX-2434-TEX-D-211D"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2305.6,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-2434-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Somit folgt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{0}=a_{k}=0 " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.568ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 5113.1 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2435-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2435-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2435-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2435-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-2435-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1243.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2299.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-2435-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2435-TEX-I-1D458"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3557.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4613.1,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2435-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \in \mathbb{N} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.578ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2465.6 734" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2436-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2436-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2436-TEX-D-2115" d="M20 664Q20 666 31 683H142Q256 683 258 681Q259 680 279 653T342 572T422 468L582 259V425Q582 451 582 490T583 541Q583 611 573 628T522 648Q500 648 493 654Q484 665 493 679L500 683H691Q702 676 702 666Q702 657 698 652Q688 648 680 648Q633 648 627 612Q624 601 624 294V-8Q616 -20 607 -20Q601 -20 596 -15Q593 -13 371 270L156 548L153 319Q153 284 153 234T152 167Q152 103 156 78T172 44T213 34Q236 34 242 28Q253 17 242 3L236 -1H36Q24 6 24 16Q24 34 56 34Q58 35 69 36T86 40T100 50T109 72Q111 83 111 345V603L96 619Q72 643 44 648Q20 648 20 664ZM413 419L240 648H120L136 628Q137 626 361 341T587 54L589 68Q589 78 589 121V192L413 419Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2436-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2436-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1743.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2115" xlink:href="#MJX-2436-TEX-D-2115"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" b_{k} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.992ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 880.4 851.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2437-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-2437-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-2437-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2437-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gilt</p>


<p>\[<br />b_{k}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (k \omega t) \mathrm{d} t <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(\int_{0}^{T / 2} 1 \cdot \sin (k \omega t) \mathrm{d} t+\int_{T / 2}^{T}(-1) \cdot \sin (k \omega t) \mathrm{d} t\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(\left[-\frac{1}{k \omega} \cos (k \omega t)\right]_{0}^{T / 2}+\left[\frac{1}{k \omega} \cos (k \omega t)\right]_{T / 2}^{T}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{T}\left(-\frac{1}{k \omega} \cos (k \pi)+\frac{1}{k \omega} \cos (0)+\frac{1}{k \omega} \cos (k 2 \pi)-\frac{1}{k \omega} \cos (k \pi)\right) <br />\]</p>
<p>\[<br />\quad \,=\frac{2}{k \omega T}(2-2 \cos (k \pi)) <br />\]</p>


<p>Mit</p>
<p>\[<br />\quad \cos (k \pi)=\left\{\begin{array}{lll}1, &amp; k \equiv 0 &amp; \bmod 2 \\ -1, &amp; k \equiv 1 &amp; \bmod 2\end{array}\right. <br />\]</p>
<p>folgt schließlich (die Schreibweise \( k \equiv 1 \bmod 2 \) bedeutet, dass \( k-1 \) durch 2 ganzzahlig teilbar ist.)</p>


<p>Mit</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\quad \cos (k \pi)=\left\{\begin{array}{lll}1, & k \equiv 0 & \bmod 2 \\ -1, & k \equiv 1 & \bmod 2\end{array}\right. 
" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="33.638ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 14867.9 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2443-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-2443-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-S3-7B" d="M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 -697 429 -699Q434 -722 443 -743T465 -782T491 -816T519 -845T548 -868T574 -886T595 -899T610 -908L616 -910Q618 -912 618 -928V-943Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-2261" d="M56 444Q56 457 70 464H707Q722 456 722 444Q722 430 706 424H72Q56 429 56 444ZM56 237T56 250T70 270H707Q722 262 722 250T707 230H70Q56 237 56 250ZM56 56Q56 71 72 76H706Q722 70 722 56Q722 44 707 36H70Q56 43 56 56Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2443-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1000,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2338,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2338,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2727,0)"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2443-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3248,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-2443-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3818,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4484.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(5540.6,0)"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><use data-c="7B" xlink:href="#MJX-2443-TEX-S3-7B"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(500,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2556,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2443-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2261" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2261"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-30"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5910.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6F" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-64" transform="translate(1333,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2166.8,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,-700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(778,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1278,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2C"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(2556,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2443-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2261" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-2261"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-31"></use></g></g><g data-mml-node="mtd" transform="translate(5910.6,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-6F" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-64" transform="translate(1333,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2166.8,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2443-TEX-N-32"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9327.3,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>folgt schließlich (die Schreibweise <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k \equiv 1 \bmod 2 " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.989ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 5299.1 705" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2444-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-2261" d="M56 444Q56 457 70 464H707Q722 456 722 444Q722 430 706 424H72Q56 429 56 444ZM56 237T56 250T70 270H707Q722 262 722 250T707 230H70Q56 237 56 250ZM56 56Q56 71 72 76H706Q722 70 722 56Q722 44 707 36H70Q56 43 56 56Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-6D" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q351 442 364 440T387 434T406 426T421 417T432 406T441 395T448 384T452 374T455 366L457 361L460 365Q463 369 466 373T475 384T488 397T503 410T523 422T546 432T572 439T603 442Q729 442 740 329Q741 322 741 190V104Q741 66 743 59T754 49Q775 46 803 46H819V0H811L788 1Q764 2 737 2T699 3Q596 3 587 0H579V46H595Q656 46 656 62Q657 64 657 200Q656 335 655 343Q649 371 635 385T611 402T585 404Q540 404 506 370Q479 343 472 315T464 232V168V108Q464 78 465 68T468 55T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-2444-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2444-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(798.8,0)"><use data-c="2261" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-2261"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1854.6,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2632.3,0)"><use data-c="6D" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-6D"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-6F" transform="translate(833,0)"></use><use data-c="64" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-64" transform="translate(1333,0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4799.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2444-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bedeutet, dass <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" k-1 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.076ex" height="1.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2243.4 776" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2445-TEX-I-1D458" d="M121 647Q121 657 125 670T137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 686Q294 679 244 477Q194 279 194 272Q213 282 223 291Q247 309 292 354T362 415Q402 442 438 442Q468 442 485 423T503 369Q503 344 496 327T477 302T456 291T438 288Q418 288 406 299T394 328Q394 353 410 369T442 390L458 393Q446 405 434 405H430Q398 402 367 380T294 316T228 255Q230 254 243 252T267 246T293 238T320 224T342 206T359 180T365 147Q365 130 360 106T354 66Q354 26 381 26Q429 26 459 145Q461 153 479 153H483Q499 153 499 144Q499 139 496 130Q455 -11 378 -11Q333 -11 305 15T277 90Q277 108 280 121T283 145Q283 167 269 183T234 206T200 217T182 220H180Q168 178 159 139T145 81T136 44T129 20T122 7T111 -2Q98 -11 83 -11Q66 -11 57 -1T48 16Q48 26 85 176T158 471L195 616Q196 629 188 632T149 637H144Q134 637 131 637T124 640T121 647Z"></path><path id="MJX-2445-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-2445-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-2445-TEX-I-1D458"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(743.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-2445-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1743.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2445-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch 2 ganzzahlig teilbar ist.)</p>


<p>\[<br />b_{k}=\frac{2}{k \pi}\left(1-(-1)^{k}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />f(t)=\frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\left(1-(-1)^{k}\right) \sin (k \omega t) <br />\]</p>
<p>Man erkennt, dass die Fourierreihe an den Stellen \( t=n T / 2 \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \) gleich dem Funktionswert \( f(n T / 2)=0 \) ist. Wäre in der Definition der Funktion beispielsweise \( f(n T / 2)=1 \) gesetzt worden, ergäben sich die gleichen Koeffizienten und die Fourierreihe würde an den Stellen \( t=n T / 2 \) vom Funktionswert abweichen. Folglich ist bei der Entwicklung von Fourierriehen besonders auf das Verhalten an Sprungstellen zu achten.</p>

<p>Man berechne die reelle Fourierreihe des in der Abbildung dargestellten periodischen Rechtecksignals. An den Sprungstellen nehme das Signal den Wert \( f(n T / 2)=0 \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \) an.</p>
<p><img style="width: 69%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61b36e4c64718b3664ce7014.jpeg" alt="T-periodisches Rechtecksignal" width="896" height="332" /></p>

<p>Man berechne die reelle Fourierreihe des in der Abbildung dargestellten periodischen Rechtecksignals. An den Sprungstellen nehme das Signal den Wert <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f(n T / 2)=0 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.366ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5465.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2430-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2430-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D453" xlink:href="#MJX-2430-TEX-I-1D453"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2430-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1539,0)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-2430-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2243,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2743,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3243,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3909.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4965.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2430-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für alle <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n \in \mathbb{Z} " style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.632ex" height="1.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2489.6 723" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2431-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2431-TEX-N-2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path><path id="MJX-2431-TEX-D-2124" d="M39 -1Q29 9 29 12Q29 23 60 77T219 337L410 648H364Q261 648 210 628Q168 612 142 588T109 545T97 509T88 490Q85 489 80 489Q72 489 61 503L70 588Q72 607 75 628T79 662T81 675Q84 677 88 681Q90 683 341 683H592Q604 673 604 666Q604 662 412 348L221 37Q221 35 301 35Q406 35 446 48Q504 68 543 111T597 212Q602 239 617 239Q624 239 629 234T635 223Q635 215 621 113T604 8L597 1Q595 -1 317 -1H39ZM148 637L166 648H112V632Q111 629 110 622T108 612Q108 608 110 608T116 612T129 623T148 637ZM552 646Q552 648 504 648Q452 648 450 643Q448 639 266 343T77 37Q77 35 128 35H179L366 339L552 646ZM572 35Q581 89 581 97L561 77Q542 59 526 48L508 37L539 35H572Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-2431-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><use data-c="2208" xlink:href="#MJX-2431-TEX-N-2208"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1822.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="2124" xlink:href="#MJX-2431-TEX-D-2124"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> an.</p>
<p><img style="width: 69%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61b36e4c64718b3664ce7014.jpeg" alt="T-periodisches Rechtecksignal" width="896" height="332" /></p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Sprungfunktion mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Dynamische Systeme - Sprungfunktion | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: