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Aufgabenstellung:

Gegeben ist die folgende Differentialgleichung

(1) ,

Die Laplace-Transformierte von (1) wurde zu

bestimmt. Zusätzlich wurden die Lösungen der charakteristischen Gleichung zu

bestimmt.

  1. Ermitteln Sie die Sprungantwort des Systems im eingeschwungenen Zustand und transformieren Sie diese in den Zeitbereich.

  2. Berechnen sie den stationären Endwert der in a) ermittelten Sprungantwort.

  3. Betrachten Sie für die Übertragungsfunktion des Systems einen Standardregelkreis mit einem P-Regler Ermitteln Sie die Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises.

  4. Berechnen Sie den stationären Endwert des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit von und bewerten Sie das Ergebnis im Hinblick auf die stationäre Genauigkeit eines Regelkreises.

Lösungsweg:

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a) Sprungantwort im eingeschwungenen Zustand und Transformation in Zeitbereich 

Ermittelt werden kann die Sprungantwort, indem das System mit einem Einheitssprung beaufschlagt wird. Die Laplace Transformierte des Einheitssprunges beträgt

Laut Aufgabenstellung kann das System als eingeschwungen betrachtet werden. Somit sind alle Eigenbewegungen abgeklungen und es muss nur der Teil

betrachtet werden, wobei die Übertragungsfunktion des Systems darstellt.

Die Sprungantwort für diesen Fall ergibt sich dann zu

Gesucht ist die Sprungantwort im Zeitbereich, weshalb dieser Ausdruck nun noch in den Zeitbereich zurück transformiert werden muss. Da in dieser Form keine Entsprechung in der Korrespondenz-Tafel hat, muss der Term durch eine Partialbruchzerlegung zunächst in bekannte Korrespondenzen zerlegt werden.

Es bietet sich hier die folgende Zerlegung an

Für den Koeffizientenvergleich wird der rechte Teil auf den gleichen Nenner gebracht und die beiden Zähler miteinander verglichen

Durch gezieltes Auswerten des Zählers an bestimmten Punkten ergeben sich die Koeffizienten zu

Somit ergibt sich für die Sprungantwort

Diese lässt sich mit Hilfe der Laplace-Korrespondenztafel direkt zurück transformieren, sodass sich als Lösung im Zeitbereich ergibt.

b) stationärer Endwert

Der stationäre Endwert kann durch Anwenden des Endwertsatzes direkt berechnet werden.

c) Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises

Es wird ein Standardregelkreis mit einem P-Regler betrachtet. Es ergibt sich zusammen mit der Übertragungsfunktion aus der Aufgabestellung

Nach der Regel für das Zusammenfassen der Rückkopplung (negative Rückkopplung - Standardregelkreis) ergibt sich der Nenner der Gesamtübertragungsfunktion zu

und die Gesamtübertragungsfunktion zu

Die Sprungantwort ergibt sich dann direkt zu

d) stationären Endwert des geschlossenen Regelkreises in Abhängigkeit von  

Der stationäre Endwert der Sprungantwort kann dann analog zur Aufgabe b) direkt mit dem Endwertsatz ermittelt werden

Da der vorgegebene Sollwert bei einer Sprungantwort 1 ist, kann in diesem Fall eine stationäre Genauigkeit nur mit einer unendlich großen Verstärkung erreicht werden. Da dies technisch nicht realisierbar ist, ist mit einem P-Regler in diesem Fall eine stationäre Genauigkeit nicht erreichbar.

Lösung: