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Aufgabenstellung:

Von einem Regelsystem ist das Bode Diagramm des offenen Regelkreises gegeben (siehe Abb. 1). Nehmen Sie an, das geschlossene Regelsystem verhalte sich annähernd wie ein System 2. Ordnung.

Freuquenzverläufe

  1. Wie gross ist der statische Regelfehler (static error) für einen Einheitssprung?
  2. Bestimmen Sie den maximalen Überschwinger (maximum overshoot) und die Anstiegszeit (rise time) des geschlossenen Regelsystems.
  3. Die Verstärkung des Reglers wird nun halbiert. Bestimmen Sie erneut und .
  4. Skizzieren Sie die Sprunganwort des Regelsystems für beide Fälle.

Lösungsweg:

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a) statische Regelfehler

Der statische Nachlauffehler ist definiert als:

wobei der Regelfehler im Frequenzbereich wie folgt berechnet werden kann:

Somit gilt für einen Sollwertsprung :

Mit dem Endwertheorem erhält man:

Im Bode Diagramm ist ersichtlich, dass der Betrag des offenen Regelkreises bei tiefen Frequenzen eine Steigung von dek aufweist. Es gilt somit

Für die Sensitivität gilt somit

Folglich gibt es keinen statischen Regelfehler.

b) maximaler Überschwinger und die Anstiegszeit

Weil angenommen wurde, dass sich das geschlossene Regelsystem wie ein System 2. Ordnung verhält, gilt für den maximalen Überschwinger annähernd

und für die Anstiegszeit

Die Phasenreserve und die Durchtrittsfrequenz können aus dem Bode Diagramm herausgelesen werden:

der Überschwinger wird somit

und die Anstiegszeit

c) und

Wenn die Verstärkung des Reglers halbiert wird, senkt sich im Bode Diagramm der Amplitudengang bei allen Frequenzen um (siehe Abb.). Die neue Durchtrittsfrequenz und Phasenreserve können nun wiederum aus dem Bode Diagramm herausgelesen werden:

Frequenzverlauf

Der Überschwinger wird somit

und die Anstiegszeit

d) Sprunganwort des Regelsystems 

In der Abbildung sind die Sprungantworten der beiden Regelsysteme dargestellt.

Sprungantwort des geschlossenen Regelsystems

Lösung:

  1. kein statischer Regelfehler
  2. ,

  3. ,
  4. siehe Musterlösung