Bilanzgleichungen - Zustandsänderungen

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Aufgabenstellung:

Für das Volumen der Teilchenmenge des (idealen) Gases Stickstoff misst man die Zustandsgrößen Temperatur und Druck bar .
Beginnend von diesem Anfangszustand '0' wird das Gas drei aufeinanderfolgenden Zustandsänderungen unterworfen.
Prozess ' 0 ' '1': Kompression bei vollständiger Wärmeisolation auf

Prozess ' 1 ' '2' : Abkühlen bei konstant gehaltenem Volumen auf die Anfangstemperatur .
Prozess '2' '3' : Entspannung bei Wärmeisolation auf den Anfangsdruck .

Skizzieren Sie den Verlauf der genannten Zustandsänderungen qualitativ in einem -Diagramm.
Bestimmen Sie Temperatur und Druck am Ende des Prozesses ' 0 ' ' 1 .
Welche Arbeit wurde beim Prozess ' 0 ' → '1' umgesetzt?
Welcher Druck stellt sich am Ende des Prozesses '1' '2' ein?

Lösungsweg:

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(a) -Diagramm

Zustandsänderungen

Skizze

olo

Eingezeichnet ist als Hilfslinie die Isotherme für

(b) und Druck

Für isentrope Zustandsänderungen gelten die POISSONschen Gleichungen, die jeweils zwei Zustandsgrößen und den Isentropenkoeffizienten des betrachteten Gases enthalten; also gleichberechtigt

const. const. const.

Da in die jeweiligen Gleichungen nur Verhältnisse eingehen, muss das Anfangsvolumen , das durch die Zustandsgleichung eines idealen Gases festgelegt ist, gar nicht explizit bekannt sein. Trotzdem - überflüssigerweise

Der Isentropenexponent ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade der Moleküle des betrachteten Gases. Stickstoff ist ein zweiatomiges Gas. Nimmt man für die Moleküle an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Der Isentropenexponent ergibt sich aus der Anzahl der Freiheitsgrade zu

Der Enddruck nach dem Prozess ' 0 ' ' 1 ' ergibt sich aus der Isentropengleichung

Die Endtemperatur nach dem Prozess ' 0 ' ' 1 ' ergibt sich aus der Isentropengleichung

Umrechnung der KELVIN-Temperatur auf CELSIUS-Temperatur

Alternativer Lösungsweg

Für den Zustand '1' gilt die Zustandsgleichung eines idealen Gases; dazu muss allerdings das Anfangsvolumen berechnet worden sein (s.o.). Aus der Zustandsgleichung

wird mit

Geringfügige Abweichungen ergeben sich aus Rundungsfehlern.

Der 1. Hauptsatz der Wärmelehre

reduziert sich für ein adiabates System mit unterdrücktem Wärmeaustausch, also

auf

Die Innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der absoluten Temperatur ab, deshalb kann aus End- und Anfangstemperatur des Prozesses ' 0 ' ' 1 ' berechnet werden. Die zusätzlich benötigte molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus den Freiheitsgraden zu

Damit wird

bedeutet, am System wird bei der Kompression vom Volumen auf Arbeit verrichtet.

(d) Druck

Für eine isochore Zustandsänderung '1' ' 2 ' vereinfacht sich die Zustandsgleichung eines idealen Gases auf

Also gilt

mit der Zusatzforderung ergibt sich

Alternativer Lösungsweg

Für den Zustand '2' gilt die Zustandsgleichung eines idealen Gases; dazu muss allerdings das Anfangsvolumen berechnet worden sein (vgl. Teilaufgabe (b)).

mit

erhält man

Lösung:

siehe Musterlösung
; bzw.
bar