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Aufgabenstellung:

In einem Zylinder ist ein Volumen durch einen leicht verschiebbaren Kolben abgeschlossen. In diesem Volumen befindet sich die Teilchenmenge des Gases Stickstoff bei der Anfangstemperatur und dem Anfangsdruck bar.
Das Gas wird nacheinander drei Zustandsänderungen unterworfen

Prozess ' 0 ' ' 1 ' : Isentrope Kompression auf das Volumen .

Prozess ' 1 ' ' 2 ' : Abkühlung bei konstantem Volumen auf die Anfangstemperatur, also auf .

Prozess ' 2 ' ' 3 ' : Isentrope Entspannung auf den Anfangsdruck, also auf bar

Für sämtliche genannten Prozesse darf Stickstoff als ideales Gas (zweiatomiges starres Hantelmodell) behandelt werden.

  1. Skizzieren Sie qualitativ diese drei Prozesse in einem Diagramm.

  2. Welche Temperatur und welcher Druck stellt sich nach der Kompression '0'→'1' ein?

  3. Welche mechanische Volumenänderungsarbeit wurde an dem Gas beim Übergang vom Zustand ' 0 ' in den Zustand ' 1 ' verrichtet?

  4. Welcher Druck stellt sich nach der Abkühlung ' 1 ' ' 2 ' ein?

  5. Welche Endtemperatur stellt sich nach der Entspannung '2' ' ein?

  6. Berechnen Sie die Differenz aus zugeführter und abgegebener Volumenänderungsarbeit für den Gesamtprozess.

Lösungsweg:

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(a) Skizzieren der Prozesse

-Diagramm - qualitativ

diagramm

(b) und

Man benutzt die beiden Isentropengleichungen, die Temperatur, bzw. Druck mit dem Volumen verknüpfen, also

Für die Stickstoffmoleküle des Gases soll gelten, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist

Der Isentropenexponent ergibt sich aus den Freiheitsgraden zu

Aus der Isentropengleichung

wird

und mit der Isentropengleichung

wird

(c)   

Wegen der idealen Wärmeisolation wird die zugeführte Arbeit vollständig in Innere Energie umgesetzt. Die Innere Energie hängt aber nur von der absoluten Temperatur ab.

Die zusätzlich benötigte molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus den Freiheitsgraden zu

damit wird

(d)

Für die isochore Abkühlung gilt die spezielle Zustandsgleichung

oder

daraus

(e)  

Analog zu Teilaufgabe (b) gilt für den Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur für eine isentrope Zustandsänderung die Darstellung

also

daraus

(f) Differenz aus zugeführter und abgegebener Volumenänderungsarbeit für den Gesamtprozess.

Die bei der isentropen Entspannung abgegebene Arbeit wird allein dem Energievorrat der Inneren Energie entzogen; das System ist adiabat, also ist .

und schließlich die insgesamt verrichtete Arbeit

Lösung:

  1. siehe Musterlösung

  2. ; bar

  3.  

  4. bar