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Aufgabenstellung:

Bei einem thermodynamischen Prozess wird das Volumen eines (idealen) Gases aus Molekülen mit fünf Freiheitsgraden von einer Temperatur auf eine Temperatur gebracht. Dabei ergibt sich eine Druckerhöhung von bar auf bar

  1. Skizzieren Sie den Vorgang in einem p,V-Diagramm; wählen Sie dabei den kürzesten, linearen Weg und zeichnen Sie die beiden Isothermen für und qualitativ mit ein.

  2. Bestimmen Sie die Anzahl der Moleküle des Gases und die zugehörige Teilchenmenge.

  3. Bestimmen Sie das Gasvolumen nach Abschluss des Vorgangs und den Betrag der Änderung der Innere Energie; nimmt diese zu oder ab?

  4. Berechnen Sie für diesen Prozess die verrichtete Arbeit und die umgesetzte Wärme Werden sie zugeführt oder abgegeben?
    Markieren Sie im -Diagramm die Fläche, die die umgesetzte Arbeit repräsentiert.

  5. Luft besteht aus den Gasen und , sowie einigen Edelgasen. Um welches Gas könnte es sich bei dieser Aufgabe handeln? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösungsweg:

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(a) p,V-Diagramm

WARM

(b) Anzahl der Moleküle des Gases und die zugehörige Teilchenmenge

Variante 1: Die Zustandsgleichung (in der Schreibweise für Einzelmoleküle) lautet

daraus erhält man die Anzahl der Moleküle

die Stoffmenge des Gases ergibt sich damit zu

Variante 2: Die Zustandsgleichung (in der üblichen molaren Schreibweise) lautet

daraus ergibt sich die Stoffmenge des Gases zu

und die Anzahl der Moleküle wird damit

(c) und  

Die allgemeine Zustandsgleichung für ein ideales Gas liefert für die beiden Zustände den Zusammenhang

daraus ergibt sich

Bei der Bestimmung der Änderung der Inneren Energie benötigt man die molare Wärmekapazität . Nimmt man für die Moleküle des Sauerstoffs und des Stickstoffs an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Die molare isochore Wärmekapazität bestimmt sich aus zu

Damit ergibt sich die Änderung der Inneren Energie

Positives Vorzeichen bedeutet nach der Vorzeichenkonvention eine Zunahme der Inneren Energie , Temperaturerhöhung).

(d) und ; Verweis im -Diagramm

Die am Gas verrichtete Arbeit wird repräsentiert durch die Fläche unter der Kurve, also der Fläche eines Parallelogramms (vgl. Teilaufgabe (a)). Dabei ist die Vorzeichenkonvention zu berücksichtigen; bei einer Expansion wird Arbeit abgegeben, das Vorzeichen ist negativ.
Man erhält (unter Einbezug des Vorzeichens)

Das negative Vorzeichen bedeutet nach der Vorzeichenkonvention abgegebene Arbeit'.

Die Ergebnisse der Teilaufgaben (c) und (d) sind nicht unabhängig voneinander. Die Änderung der Inneren Energie , die umgesetzte Wärme und die umgesetzte Arbeit sind über den Hauptsatz miteinander verknüpft; es gilt allgemein

Hat man von den drei physikalischen Größen und zwei unabhängig voneinander bestimmt, dann erhält man die dritte Größe aus dem 1. Hauptsatz. Zur Probe kann natürlich dann die dritte Größe ebenfalls unabhängig bestimmt werden.

Für die umgesetzte Wärme erhält man

Ein positives Vorzeichen bedeutet nach der Vorzeichenkonvention zugeführte Wärme.

(e) Bestimmung des Gas´

Die Anzahl der Freiheitsgrade der Moleküle des Gases ist mit fünf vorgegeben. Edelgase sind einatomig, ihre Moleküle haben drei Freiheitsgrade der Translation

Nimmt man für ein zweiatomiges Gas an, dass im betrachteten Temperaturbereich auch die Freiheitsgrade der Rotation angeregt sind, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade

Diese Anzahl ist als Information in der Aufgabenstellung vorgegeben. In der Zusammensetzung der Luft überwiegen die zweiatomigen Moleküle Sauerstoff und Stickstoff

Lösung:

  1. siehe Musterlösung 

  2. ; .

  3. ;

  4. ;

  5. Möglichkeiten: Sauerstoff oder Stickstoff .