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Aufgabenstellung:

Eine mechanischer, gedämpfter Schwinger wird durch die normierte Schwingungsgleichung beschrieben.

  1. Wie lautet die Schwingungsgleichung nach LAPLACE-Transformation bei verschwindenden Anfangsbedingungen? Was sind die Lösungen dieser Gleichung?
  2. Geben Sie eine Erregung an, bei der der Schwinger in Resonanz betrieben wird. Wie groß ist die Resonanzüberhöhung?
  3. Wie lautet die Schwingungsgleichung, wenn diese durch zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zu formulieren ist?

Lösungsweg:

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1. Wie lautet die Schwingungsgleichung nach LAPLACE-Transformation bei verschwindenden Anfangsbedingungen? Was sind die Lösungen dieser Gleichung?

Die Lösung sind die Eigenwerte (Pole bei Übertragungsfunktion):

2. Geben Sie eine Erregung an, bei der der Schwinger in Resonanz betrieben wird. Wie groß ist die Resonanzüberhöhung?

Beispiel:

mit :

Güte:

3. Wie lautet die Schwingungsgleichung, wenn diese durch zwei Differentialgleichungen erster Ordnung zu formulieren ist?

Durch die Substitutionen folgt das Gleichungssystem:

bzw.

Dies ist ein spezielles Eigenwertproblem. Die Lösung im LAPLACE-Bereich für liefert die Eigenvektoren , und die Lösung der Gleichung die Eigenwerte .

Diese bestimmen maßgeblich das Schwingverhalten des Oszillators. Ist Re , klingt die Amplitude ab (stabiles Verhalten), ist entstehen Dauerschwingungen und ist , wächst die Amplitude mit der Zeit über alle Grenzen (instabiles Verhalten).

Lösung:

  3. siehe Lösungsweg