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Aufgabenstellung:

Gegeben ist der dargestellte Tankbehälter.

Zwei-Tank-System

Es sind folgende linearisierte Differentialgleichungen in der Ruhelage des Systems bei einem konstanten Zufluss bekannt. 

 

a) Geben Sie eine Differentialgleichung an, die den Füllstand in Abhängigkeit vom Zufluss beschreibt.
b) Transformieren Sie beide gegebenen Differentialgleichungen in den Laplace-Bereich. Geben Sie einen Ausdruck für den Füllstand in Abhängigkeit des Zuflusses an.

Hinweis: Im folgenden gilt:

c) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Füllstandes der aus den gegebenen Anfangswerten für und resultiert. Es wird angenommen, dass keine zusätzliche Flüssigkeit in den Tank A fließt

Lösungsweg:

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a) Differentialgleichungen 

Es gilt die beiden Differentialgleichungen zu kombinieren, sodass die direkte Wirkung des Eingangs auf den Füllstand des Tanks B beschrieben wird.

Anmerkung: Es werden die linearisierten Differentialgleichungen des Problems betrachtet, sprich es wird ein System mit einem konstanten Zufluss und Abfluss betrachtet, welches eingeschwungen ist (keine Dynamik mehr vorhanden). Die betrachteten Gleichungen beschreiben nur die Abweichungen von diesem eingeschwungenen Zustand!

Für den Füllstand des Tanks gilt laut Aufgabenstellung

Einmal differenzieren führt zu

Ersetzen von mit der Differentialgleichung des Tanks

Nun muss noch der Term ersetzt werden. Umformen der Differentialgleichung des Tanks ergibt

Eingesetzt in die Differentialgleichung von ergibt schließlich

b) Laplace-Transformation und Füllstand in Abhängigkeit des Zuflusses

Zunächst gilt es alle zeitlich veränderlichen Größen in den beiden Differentialgleichung in den Laplace-Bereich (Bildbereich) zu überführen. Mit Hilfe des Laplacschen Differentiationssatzes ergibt sich

Diese Terme werden in die beiden Differentialgleichungen eingesetzt womit sich die beiden Laplace-Transformierten der betrachteten Differentialgleichungen ergeben.

Um einen Ausdruck für den Füllstand in Abhängigkeit von zu erhalten, wird zunächst (1) nach aufgelöst

 

Gleichermaßen wird (2) nach aufgelöst

Nun wird (3) in (4) eingesetzt

Weiter auflösen führt auf den gesuchten Ausdruck für den Füllstand

Der Term stellt dann nicht nur den Term dar der den Füllstand beschreibt, sondern gleichzeitg auch die Lösung der Differentialgleichung im Laplace-Bereich.

c) zeitlicher Verlauf des Füllstandes

Der in b) erhaltene Ausdruck für soll nun in den Zeitbereich zurück transformiert werden. Es ist also die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich gesucht. Es gilt laut Aufgabenstellung, dass keine weitere Flüssigkeit in den Tank fließt.

Somit gilt und vereinfacht sich zu

Setzt man in (5) die Angaben aus der Aufgabenstellung ein ergibt sich

Der erhaltene Term stellt damit die homogene Lösung der Differentialgleichung im Laplace-Bereich dar. Mithilfe der Laplace Korrespondez Tabelle kann der zeitliche Verlauf des Füllstandes in diesem Fall direkt aufgeschrieben werden

Lösung:

  1.  
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