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Aufgabenstellung:

Gegeben ist das Modell eines linearen Feder-Masse-Dämpfer-Systems

mit der Federsteifigkeit , der Dämpfungskonstante , der Masse und als Kraft auf die Masse. Für die Parameter gelte .

Berechnen Sie die reguläre Zustandstransformation , die das System in die reelle Jordansche Normalform transformiert und geben Sie das entsprechende transformierte System an.

Lösungsweg:

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Reguläre Zustandstransformation

Die Eigenwerte ergeben sich mit

Unter der in der Aufgabenstellung gegebenen Bedingung ergeben sich konjugiert komplexe Eigenwerte und , was zu konjugiert komplexe Eigenvektoren führt.

Hinweis:
Um die nachfolgenden Rechnungen zu vereinfachen wird die Matrix mittels der kompakteren Termne und wie folgt umgeschrieben

Berechnung der Eigenvektoren:

Erweitert man die 2. Zeile konjugiert komplex mit so erhält man

Die sich ergebenen Zeilenvektoren der Matrix auf der linken Seite sind linear abhängig, weshalb keine eindeutige Lösung des zugeordneten Gleichungssystem möglich ist. Alle Lösungen müssen jedoch die Gleichung erfüllen.

Wählt man beispielsweise so ergibt sich und man erhält

Es gilt:

Die Transformationsmatrix lautet somit

Transformierten Systemmatrizen

Zusammenfassend erhält man die transformierte Zustandsdarstellung

Lösung:

Transformationsmatrix:

 

Transformierten Systemmatrizen: