Beobachtbarkeit

Steuerbarkeit

Modellierung

Diskretisierung

Zustandsraumdarstellung

Stabilität

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

<p>\[<br />y_{k} -y_{k-1}=\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />u_{k}=-K_{R} \cdot e_{k} \quad (1) <br />\]</p>
<p>\[<br />e_{k}=y_{k}-\omega_{k}\quad \ \ \ (2)  <br />\]</p>


<p>\[<br />y_{k}=y_{k-1}+\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right) \quad (3) <br />\]</p>


<p>\[<br />e_{k}=\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right)+y_{k-1}-\omega_{k}\quad (4)  <br />\]</p>


<p>\[<br />\omega_{k}=\omega_{k-1}+2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2}\quad (5)  <br />\]</p>


<p>\[<br />e_{k}=\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right)+\underbrace{y_{k-1}-\omega_{k-1}}_{e_{k-1}}-2 T^{2} \sec ^{-2}\quad (6)  <br />\]</p>


<p>\[<br />e_{k}-e_{k-1}=-\frac{K_{I} K_{R} T}{6}\left(e_{k-2}+4 e_{k-1}+e_{k}\right)-2 T^{2} \sec ^{-2} <br />\]</p>


<p>für \( k \rightarrow \infty: e_{k}=e_{k-1}=e_{k-2}=-0,2 \)</p>


<p>\[<br />0=K_{I} K_{R} T \cdot 0,2-2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2} <br />\]</p>


<p>\[<br />K_{R}=\frac{2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2}}{K_{I} T 0,2}=\frac{2 T \mathrm{sec}^{-2}}{K_{I} 0,2} <br />\]</p>
<p>\[<br />K_{R}=0,25 <br />\]</p>


<p>b) \( \lim _{k \rightarrow \infty} v_{k} \)</p>


<p>\[<br />e_{k}=\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right)+e_{k-1}-2 T^{2} \sec ^{-2}<br />\]</p>
<p>\[<br />u_{k}=v_{k}-K_{R} \cdot e_{k} <br />\]</p>


<p>\( \left.\begin{array}{rl}\lim _{k \rightarrow \infty} e_{k} &amp; =0 \\ u_{k} &amp; =v_{k}\end{array}\right\} \) beides einsetzen in (6) aus \( a \) )</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left.\begin{array}{rl}\lim _{k \rightarrow \infty} e_{k} & =0 \\ u_{k} & =v_{k}\end{array}\right\} " style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.283ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 8080.9 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1956-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1956-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 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data-mml-node="mi"><use data-c="1D463" xlink:href="#MJX-1956-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D458" xlink:href="#MJX-1956-TEX-I-1D458"></use></g></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7330.9,0) translate(0 -0.5)"><use data-c="7D" xlink:href="#MJX-1956-TEX-S3-7D"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> beides einsetzen in (6) aus <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1957-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 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<p>\[<br />0=\frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(v_{k-2}+4 v_{k-1}+v_{k}\right)-2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2} <br />\]</p>


<p>für \( k \rightarrow \infty \quad v_{k}=v_{k-1}=v_{k-2} \)</p>


<p>\[<br />0=K_{I} T v_{k}-2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2} <br />\]</p>


<p>\[<br />v_{k}=\frac{2 T \mathrm{sec}^{-2}}{K_{I}} <br />\]</p>
<p>\[<br />v_{k}=0,05 <br />\]</p>

<p>Betrachtet wird folgender Regelkreis:</p>
<p><img style="width: 37%; height: auto; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61be4b186ada3463998d6d7a.jpeg" alt="Abbildung" width="283" height="165" /></p>
<p>Zwischen zwei Abtastzeitpunkten wird die Integration durch folgende zeitdiskrete Differenzengleichung approximiert:</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />K_{I} \int_{(k-1) T}^{k T} u(t) d t \simeq \frac{K_{I} \cdot T}{6}\left(u_{k-2}+4 u_{k-1}+u_{k}\right) <br />\]</p>
<p>Die Abtastzeit beträgt \( T=0,1 \mathrm{sec} ; \quad K_{I}=4 \mathrm{sec}^{-1} ; \quad w_{k}=y_{k}=0 \) für \( k \leq 0 . \)</p>
<p>Für Teil a) ist \( v=0 \).</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie unter Verwendung von Differenzengleichungen \( K_{R} \) so, dass für den rampenförmigen Verlauf der Führungsgröße<br />\[\quad w_{k}=w_{k-1}+2 T^{2} \mathrm{sec}^{-2}\] der sich einstellende Geschwindigkeitsfehler \( \lim _{k \rightarrow \infty} e_{k}=-0,2 \) beträgt.<br /><br /></li>
<li>Bestimmen Sie \( \lim _{k \rightarrow \infty} v_{k} \) so, dass \( \lim _{k \rightarrow \infty} e_{k}=0 \) wird.</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Modellierung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: