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Aufgabenstellung:

Die Rotationsbewegung eines 2 -atomigen Moleküls kann man sich vorstellen als ebene Rotation einer Hantel um eine festgehaltene Achse durch den Massenmittelpunkt, die senkrecht auf der Hantelachse steht.

  1. Leiten Sie aus der Voraussetzung, dass der Betrag des Drehimpulses quantisiert ist und die Werte  annehmen kann, die quantisierten Niveaus der Rotationsenergie des Moleküls ab.
  2. Für Strahlungsübergänge zwischen den Rotationsniveaus eines 2-atomigen Moleküls gilt die Auswahlregel . Zeigen Sie, dass das Rotationsspektrum eines 2-atomigen Moleküls aus äquidistanten Linien besteht, deren Frequenzen um auseinanderliegen, wobei das Trägheitsmoment des Moleküls ist.
  3. Der Frequenzabstand benachbarter Linien im Rotationsspektrum von wird zu 11.2 GHz gemessen. Bestimmen Sie den Abstand der beiden Atome. Außer der Rotationsbewegung können Atome in einem 2-atomigen Molekül auch Schwingungen gegeneinander entlang ihrer Verbindungslinie ausführen, die für niedrige Energien näherungsweise harmonisch sind. Die zugehörigen quantisierten Energieniveaus sind durch gegeben, mit der Oszillatorfrequenz .
  4. Infrarotes Licht der Wellenlänge wird von HCl-Gas sehr stark absorbiert. Bestimmen Sie die Federkonstante des HCl-Moleküls. Wie viel Schwingungsenergie enthält ein Mol HCl am absoluten Nullpunkt. Es gilt die Auswahlregel

Lösungsweg:

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a) Herleitung Quantisierung der Rotationsenergie-Niveaus eines Moleküls:

Bei der Drehung eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit um eine Achse mit Trägheitsmoment ist die Rotationsenergie

Der Drehimpuls ist:

Also ist die Rotationsenergie in Abhängigkeit vom Drehimpuls

Mit der Quantisierung des Drehimpuls erhält man insgesamt:

b) Äquidistante Linien des Rotationsspektrum eines 2-atomigen Moleküls:

Beim Übergang vom Niveau in das Niveau wird ein Photon mit der folgender Frequenz emittiert:

Da ist, wird dies zu

Also ist der Abstand der Spektrallinien

c) Atomabstand bei 2-atomigen Molekül:

Aus dem gemessenen Frequenzabstand ergibt sich das Trägheitsmoment des Moleküls

Um daraus und aus den Massen der Atome auf den Abstnad der Atome rückschließen zu können, muss man zunächst bei gegebenen Massen und Abstand das Trägheitsmoment für Drehungen um den Massenmittelpunkt berechnen:

Dabei ist der Abstand zwischen und dem Massenmittelpunkt, entsprechend für

und sind bestimmt durch . Also sind und

Einsetzen in die Gleichung für ergibt:

Somit gilt für :

Im Ganzen also

d) Federkonstante und Schwingungsenergie des HCl-Moleküls:

Die Differenz der Energieniveaus des harmonischen Oszillators ist . Setzt man dies gleich der Energie des Protons der Wellenlänge , so ist

Man kann dies nach auflösen, wenn bekannt ist.

Die gesuchte Federkonstante ergibst sich nun aus der Schwingungsfreque des Oszillators und seiner Masse. Da es sich hier um 2 gegeneinander schwingende Atome der Massen bzw. handelt, muss man die reduzierte Mass verwenden, also

Die Schwingungsenergie von am absoluten Nullpunkt ist

mit Avogadrokonstante und der Nullpunktsenergie eines harmonischen Oszillators:

Wegen ist also die Schwingungsenergie im Ganzen:

Lösung: