Aufgabenstellung:
Bei einem CO-Molekül ist die potentielle Energie als Funktion des Abstandes
gegeben. Dabei ist
- Die beobachtbare Frequenz für Schwingungsanregung des Moleküls beträgt
. Berechnen Sie daraus den Wert von .
Hinweis: Entwickeln Sie die Exponentialfunktion im Potential bis zur 1. Ordnung, um das Potential eines harmonischen Oszillators zu erhalten. - Skizzieren Sie qualitativ die Energieniveaus der Zustände mit
; und wobei den Schwingungszustand und den Rotationszustand angibt. Skizzieren Sie anschließend die erlaubten Rotationsübergänge und berechnen Sie deren Frequenzen. Beachten Sie dabei, dass das Molekül nur um eine Achse senkrecht zur Molekülachse rotiert.
Lösungsweg:
a) Man entwickelt die Exponentialfunktion bis zur ersten Ordnung:
Damit ergibt sich insgesamt für die potentielle Energie:
Berechnung von
Damit ist die Lösung analog zum harmonischen Oszillator mit
Bei zweiatomigen Molekülen muss die reduzierte Masse
Für die reduzierte Masse gilt
Mit
b) Energieniveaus und erlaubte Rotationsübergänge:
Die Rotationsbedingung ist allgemein gegeben durch
Für ein zweiatomiges Molekül mit Trägheitsmoment
ergibt sich die Rotationsenergie:
Die erlaubten Übergänge sind
Frequenzen der Rotationsübergänge
Die Energiedifferenz
Für den Übergang von
Die Frequenzen der Rotationsübergänge ergeben dann
Lösung:
- Siehe Lösungsweg.