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Aufgabenstellung:

Gegeben sei ein eindimensionales Potential der Form

ü

in dem sich ein kräftefreies Teilchen befinde.

  1. Bestimmen Sie die Wellenfunktion .
  2. Berechnen Sie die Energieeigenwerte .
  3. Berechnen Sie den Erwartungswert des Ortes und des Impulsoperators .
  4. Berechnen Sie die Energieunschärfe und interpretieren Sie das Ergebnis.

Hinweis: Für die Energieunschärfe gilt:

Lösungsweg:

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a) Wellenfunktion

Das Teilchen hält sich ausschließlich im Potentialkasten auf, weswegen sich die Schrödingergleichung wie folgt liest:

Mit der Beziehung ändert sich die Gleichung zu

Mit dem Ansatz

und den Randbedingungen und erhält man schließlich

Der Ausdruck der zweiten Randbedingung verschwindet für Vielfache von des Arguments im Sinus:

Das bedeutet die Wellenfunktion ist gegeben via

Mit der Normierungsbedingung erhält man zusätzlich einen eingängigeren Ausdruck für :

b) Energieeigenwerte

Einsetzen der in (a) erhaltenen Wellenfunktion in die Schrödingergleichung liefert die Energieeigenwerte

c) Erwartungswerte:

Erwartungswert des Ortes ist

und der des Impulsoperators:

d) Energieunschärfe

Zur Berechnung der Energieunschärfe benötigt man die Erwartungswerte von und

Eingesetzt in die im Hinweis angegebene Gleichung erhält man insgesamt:

Die Energie ist also scharf messbar.

Lösung: