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Aufgabenstellung:

Betrachten Sie die quantenmechanische Wellenfunktion

  1. Bestimmen Sie den Normierungsfaktor mit der BedingungWelche Einheit hat die Wellenfunktion und warum ist die Normierung wichtig für die Interpretation in der Quantenmechanik?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort zu finden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in einem Intervall zu finden? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen in einem Intervall zu finden?

Lösungsweg:

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a) Normierungsfaktor

Einsetzen von Gleichung 1 in die Normierungsbedingung 2 unter Berücksichtigung der Betragsfunktion im Exponenten liefert:

Für den Normierungsfaktor ergibt sich also

und damit für die Wellenfunktion

Nur wenn die Wellenfunktion normiert ist, lässt sich das Absolutquadrat als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren. Die Einheit der Wellenfunktion ist identisch mit der Einheit ihrer Amplitude, respektive ihres Normierungsfaktors, also gerade

b) Wahrscheinlichkeit für das Teilchen an verschiedenen Orten:

Ort

Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen exakt an einem Ort zu finden ist Null.

Intervall

Für das infinitesimale Intervall kann man die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort mit multiplizieren:

Das ist eine gültige Näherung für .

Intervall

Für ein größeres Intervall muss entsprechend das Integral ausgewertet werden:

Lösung:

  2. Ort nicht bestimmbar.
    Intervall .
    Intervall .