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Aufgabenstellung:

Gegeben sind die beiden Übertragungsfunktionen

  1. Berechnen Sie die Polstellen der beiden Übertragungsfunktionen.

  2. Betrachten Sie beide Übertragungsfunktionen jeweils in einem Standardregelkreis mit einem P-Regler . Bestimmen Sie jeweils die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises und deren Polstellen in Abhängigkeit von .

Lösungsweg:

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a) Polstellen

Für die erste Übertragungsfunktion ergeben sich die Polstellen zu

Die Übertragungsfunktion hat also zwei Polstellen mit negativen Realteilen und ist daher stabil.

Für die zweite Übertragungsfunktion ergeben sich analog die Polstellen zu

In diesem Fall ergibt sich eine Polstelle mit einem positiven Realteil, somit ist diese Übertragungsfunktion instabil.

b) Übertragungsfunktion und Polstellen 

Es wird in beiden Fällen der Standardregelkreis mit einem P-Regler betrachtet.

Daher ergibt sich für die Zusammenfassung der Rückkopplung

und somit gilt , da im Pfad der Rückkopplung keine Übertragungsfunktion vorliegt .

Somit gilt für die Gesamtübertragungsfunktion

Für die erste Übertragungsfunktion ergibt sich somit

Die Berechnung des Nenners ergibt dann

Für die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich somit

Für die Polstellen des geschlossenen Regelkreises gilt in diesem Fall

Für die zweite Übertragungsfunktion gilt analog

Somit ergibt sich der Nenner der Gesamtübertragungsfunktion zu

und die gesuchte Übertragungsfunktion zu

Die Polstellen des geschlossenen Regelkreises ergeben sich zu

Durch das kann in diesem Fall beispielsweise erreicht werden, dass die Polstelle mit dem positiven Realteil in den negativen Bereich verschoben und der geschlossene Regelkreis somit stabilisiert wird (künstliche Stabilisierung).

Lösung:

  1. Für : 
    Für : 

  2. Für Übertragungsfunktion 1:

    Für Übertragungsfunktion 2