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Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Übergangsfunktion eines linearen Systems, dessen Übertragungs. funktion bestimmt werden soll.

Abbildung

Das System hat folgende Eigenschaften:

  • es besitzt genau eine Nullstelle bei
  • die Phase läuft für asymptotisch gegen
  • es gilt

a) Bestimmen Sie die Ordnung des Systems und begründen Sie Ihre Aussage.
b) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion in der Form

und bestimmen Sie die Koeffizienten sowie die Verstärkung .

Lösungsweg:

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a) Ordnung des Systems

Die Übergangsfunktion besitzt eine Anfangssteigung größer 0 . Daher muss der Nennergrad um eins größer sein als der Zählergrad. Da genau eine Nullstelle existiert, folgt für den Nennergrad und damit die Ordnung des Systems

b) Übertragungsfunktion und Koeffizienten sowie die Verstärkung .

Aus Teilaufgabe a) folgt für :

Aus der Übergangsfunktion ist zu entnehmen, dass das System stabil ist und daher die Grenzwertsätze anwendbar sind. Für den Endwert gilt .

Daraus folgt im Bildbereich:

Für die Anfangssteigung (siehe Diagramm) gilt

Daraus folgt für den Bildbereich:

Aus der Korrespondenztabelle folgt für und :

mit

Die Bestimmungsgleichung für folgt aus der Korrespondenztabelle mit .

Für die Periodendauer der Schwingung (siehe Diagramm) gilt:

Es folgt für die Eigenkreisfrequenz :

Daraus ergeben sich und :

Für ergibt sich:

Lösung: