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Aufgabenstellung:

Ein Körper führt ungedämpfte harmonische Schwingungen aus. Das Weg-Zeit-Gesetz seiner Bewegung lautet

Finden Sie für diese Schwingungen

  1. die Eigenkreisfrequenz ,

  2. die Schwingungsdauer ,

  3. den Nullphasenwinkel ,

  4. die Amplitude .

    Bestimmen Sie für den Körper zum Zeitpunkt

  5. die momentane Auslenkung ,

  6. die momentane Geschwindigkeit ,

  7. die momentane Beschleunigung .
    Zeichnen Sie in passendem Maßstab das Weg-Zeit-Gesetz für das Zeitintervall .

Lösungsweg:

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(a) - (d) Bestimmung der Konstanten:

Aus dem Koeffizientenvergleich des allgemeinen Weg-Zeit-Gesetzes der ungedämpften harmonischen Schwingung mit dem speziellen Weg-Zeit-Gesetz der betrachteten Bewegung erhält man die gesuchten Werte.

Amplitude:

Eigenkreisfrequenz:

Nullphasenwinkel:

[dies entspricht im Gradmaß]

Schwingungsdauer

Es gilt 

Anmerkung zum Nullphasenwinkel

Der positive Nullphasenwinkel bedeutet, dass die Schwingung mit voreilt gegenüber einer Schwingung, deren Nullphasenwinkel ist.

Die gegebene Gleichung liefert als Auslenkung zum Zeitpunkt

Diese Auslenkung würde die durch gegebene Schwingung erst zu einem späteren Zeitpunkt s erreichen (nämlich bei ).

e) Die momentane Auslenkung zum Zeitpunkt :

f) und g) Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zunächst allgemein durch ein- bzw. zweimaliges Ableiten des Weg-Zeit-Gesetzes nach der Zeit :

Für deren Werte zum Zeitpunkt erhält man unter Ausnutzung der Periodizität der harmonischen Funktionen:

Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt :

Die Beschleunigung zum Zeitpunkt :

Die negativen Vorzeichen bedeuten, dass der Körper sich in negative -Richtung bewegt und auch in diese Richtung beschleunigt wird. Die Auslenkung weist einen positiven Wert auf.

Grafische Darstellung des Weg-Zeit-Gesetzes

Das Zeitintervall von bis entspricht in diesem Beispiel genau einer Periode der Kosinus-Funktion. Ein Nullphasenwinkel von bedeutet, dass die gesuchte Kosinus-Funktion gegenüber der Standard-Kosinus-Funktion um nach links verschoben ist.

Ein Maximum (Funktionswert ) liegt deshalb bei , das nächste bei . Ein Minimum (Funktionswert ) liegt bei und die Nullstellen befinden sich jeweils in der Mitte zwischen den genannten Werten von Maximum und Minimum.

Der Funktionswert an der Stelle ist .

Skizze

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Lösung:

a) - d):

  • Amplitude
  • Eigenkreisfrequenz
  • Nullphasenwinkel
  • Schwingungsdauer

e) Auslenkung

f) Geschwindigkeit

g) Beschleunigung