Schwingungen - Physikalische Grundlagen schwingungsfähiger Systeme

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Aufgabenstellung:

Eine kleine Stahlkugel (Masse ) bewegt sich an einem dünnen Draht gleichförmig auf einer Kreisbahn (Bahnradius ).
Man beobachtet in der Zeit insgesamt Umläufe der Kugel.

Zeigen Sie, dass der Begriff 'materielles Teilchen' oder 'Punktmasse' erlaubt ist, weil der Kugeldurchmesser sehr klein gegen den Bahnradius ist, dass also die Bedingung gilt.
Bestimmen Sie für die gleichförmige Kreisbewegung
(b1) die Umlaufdauer ,
(b2) die (Umlaufs-) Frequenz ,
(b3) die Winkelgeschwindigkeit ,
(b4) die Bahngeschwindigkeit .
Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment der Stahlkugel (Masse ) für diese Drehbewegung?
Die obige Kreisbewegung des materiellen Punktes wird mit parallelem Licht beleuchtet und auf eine Wand projiziert. Der Schatten des Massenpunktes vollführt eine ungedämpfte harmonische Bewegung. Zu Beginn der Bewegung (also zur Zeit ) soll sich der Projektionspunkt gerade am äußersten rechten Punkt der Schattenbahn befinden und beginnen, nach links zu laufen.
Bestimmen Sie für die sich in der Projektion ergebende ungedämpfte harmonische Bewegung
(d1) die Kreisfrequenz ,
(d2) die Frequenz ,
(d3) die Schwingungsdauer ,
(d4) die Amplitude .
Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz an.

Lösungsweg:

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a) Materielles Teilchen oder Punktmasse

Man bestimmt zunächst den Radius aus den gegebenen Angaben. Anschließend wird der Kugeldurchmesser mit dem Bahnradius verglichen.

Bestimmung des Kugelradius :

Für einen homogenen Körper ist die Dichte:

Das Volumen einer Kugel ist

Die Dichte von Stahl ist

Hieraus ergibt sich ein Kugelradius von .

Damit wird das Verhältnis , das entspricht .

Der Begriff 'materielles Teilchen' oder 'Punktmasse' ist also gerechtfertigt.

b) Größen der gleichförmigen Kreisbewegung bestimmen

Für eine gleichförmige Kreisbewegung gilt:

Umlaufdauer:

$ä$

Frequenz:

Winkelgeschwindigkeit:

Bahngeschwindigkeit:

$ü$

Alternative:

c) Bestimmung vom Massenträgheitsmoment der Stahlkugel (Masse )

Die Berechnung erfolgt mit Hilfe der Definition des Massenträgheitsmoments für ein materielles Teilchen der Masse , das im Abstand um eine Achse umläuft

d) Bestimmung der Größen der sich in der Projektion ergebende ungedämpfte harmonische Bewegung

Die senkrechte Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf einen Durchmesser der Bahn ergibt eine ungedämpfte harmonische Bewegung längs dieses Durchmessers bzw. einer entsprechenden Achse.

Skizze

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sei das materielle Teilchen (Masse ), der die gleichförmige Kreisbewegung mit Radius ausführt.
Seine senkrechte Projektion auf die -Achse beschreibt dort eine harmonische Bewegung, deren Weg-Zeit-Gesetz einer ungedämpften harmonischen Schwingung entspricht.

Hierbei entsprechen einander:

$ö$

e) Das Weg-Zeit-Gesetz:

Das allgemeine Weg-Zeit-Gesetz lautet:

Es ist hier speziell und der Nullphasenwinkel , weil die Bewegung mit maximaler Auslenkung in -Richtung beginnt.
Mit dem eingangs berechneten Wert für ergibt sich als Weg-Zeit-Funktion für die betrachtete Bewegung

Hinweis: Der Phasenwinkel muss im Bogenmaß angegeben werden.

Lösung:

Verhältnis oder - Begriff 'materielles Teilchen' gerechtfertigt.
gleichförmige Kreisbewegung
Umlaufdauer

Frequenz

Winkelgeschwindigkeit

Bahngeschwindigkeit
Massenträgheitsmoment
Weg-Zeit-Gesetz