Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<p>Der Spannungsverlauf wird durch eine ungerade Funktion beschrieben, es können daher nur Sinusglieder auftreten.</p>


<p>Somit gilt $ a_{n}=0 $ für $ n=0,1,2, \ldots $</p>


<p>Somit gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n}=0 " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.493ex" height="1.864ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2869.8 823.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-941-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-941-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-941-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-941-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-941-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-941-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1314,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-941-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2369.8,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-941-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n=0,1,2, \ldots " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.438ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 5939.6 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path 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<p>Die Schwingungsdauer ist $ T=\pi $</p>


<p>Die Schwingungsdauer ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" T=\pi " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.899ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2607.6 759" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-943-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-943-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-943-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-943-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(981.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-943-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2037.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-943-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>die Kreisfrequenz beträgt $ \omega_{0}=2 \pi / T= $ $ =2 \pi / \pi=2 $</p>


<p>die Kreisfrequenz beträgt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \omega_{0}=2 \pi / T= " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.945ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5721.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-944-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-944-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 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<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten $ b_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) $</p>


<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" b_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.579ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8653.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-946-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-946-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 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data-c="29" xlink:href="#MJX-946-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />b_{n} &amp;=\frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f(t) \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t=\frac{2}{\pi} \cdot u_{0} \cdot \underbrace{\int_{0}^{\pi} \cos t \cdot \sin (2 n t) d t}_{\text {Integral } 285 \text { mit } a=2 n, b=1} \\<br />&amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left[-\frac{\cos [(2 n+1) t]}{2(2 n+1)}-\frac{\cos [(2 n-1) t]}{2(2 n-1)}\right]_{0}^{\pi}=\\<br />&amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left[-\frac{\cos [(2 n+1) \pi]}{2(2 n+1)}-\frac{\cos [(2 n-1) \pi]}{2(2 n-1)}+\frac{\cos 0}{2(2 n+1)}+\frac{\cos 0}{2(2 n-1)}\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Wegen $ \cos [(2 n+1) \pi]=\cos [(2 n-1) \pi]=\cos \pi=-1 $ und $ \cos 0=1 $ folgt dann:</p>


<p>Wegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \cos [(2 n+1) \pi]=\cos [(2 n-1) \pi]=\cos \pi=-1 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="44.077ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 19482.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-948-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-948-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 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xlink:href="#MJX-949-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3338.2,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-949-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgt dann:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />b_{n} &amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left(-\frac{-1}{2(2 n+1)}-\frac{-1}{2(2 n-1)}+\frac{1}{2(2 n+1)}+\frac{1}{2(2 n-1)}\right)\\<br />&amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left(\frac{1}{2(2 n+1)}+\frac{1}{2(2 n-1)}+\frac{1}{2(2 n+1)}+\frac{1}{2(2 n-1)}\right)\\</p>
<p>&amp;\text{(zwei verschiedene Summanden, jeweils doppelt)}\\<br />&amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left(2 \cdot \frac{1}{2(2 n+1)}+2 \cdot \frac{1}{2(2 n-1)}\right)=\frac{2 u_{0}}{\pi}\left(\frac{1}{2 n+1}+\frac{1}{2 n-1}\right)\\<br />&amp;=\frac{2 u_{0}}{\pi} \cdot \frac{2 n-1+2 n+1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{2 u_{0}}{\pi} \cdot \frac{4 n}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{8 u_{0}}{\pi} \cdot \frac{n}{(2 n-1)(2 n+1)}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Umformungen: Die Brüche wurden auf den Hauptnenner $ (2 n-1)(2 n+1) $ gebracht, d. h. der Reihe nach mit $ 2 n-1 $ bzw. $ 2 n+1 $ erweitert.</p>


<p>Umformungen: Die Brüche wurden auf den Hauptnenner <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (2 n-1)(2 n+1) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.292ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7200.9 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-951-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-951-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-951-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-951-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-951-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-951-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-951-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(389,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(889,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-951-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1711.2,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2711.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3211.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3600.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3989.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4489.4,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-951-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5311.7,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6311.9,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6811.9,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-951-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gebracht, d. h. der Reihe nach mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 2 n-1 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.386ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2822.4 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-952-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-952-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 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95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-953-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-953-TEX-N-2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-953-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-953-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-953-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1322.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-953-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2322.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-953-TEX-N-31"></use></g></g></g></svg></mjx-container> erweitert.</p>


<p>Die Fourier-Reihe lautet somit (mit $ \left.\omega_{0}=2\right) $ :</p>


<p>Die Fourier-Reihe lautet somit (mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left.\omega_{0}=2\right) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.423ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3281.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-954-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-954-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-954-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-954-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-954-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 250)"></g><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-954-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(655,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-954-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1336.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-954-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2392.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-954-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2892.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-954-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />f(t) &amp;=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right)=\frac{8 u_{0}}{\pi} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2 n-1)(2 n+1)} \cdot \sin (2 n t)\\<br />&amp;=\frac{8 u_{0}}{\pi}\left(\frac{1}{1 \cdot 3} \cdot \sin (2 t)+\frac{2}{3 \cdot 5} \cdot \sin (4 t)+\frac{3}{5 \cdot 7} \cdot \sin (6 t)+\ldots\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Grund- und Oberschwingungen sind reine Sinusschwingungen mit den Kreisfrequenzen $ \omega_{1}=2, \omega_{2}=4 $, $ \omega_{3}=6, \ldots, \omega_{n}=2 n, \ldots $ und den Phasenwinkeln $ \varphi_{n}=0 . $ Die Amplituden $ A_{n} $ stimmen hier mit den FourierKoeffizienten überein:</p>


<p>Grund- und Oberschwingungen sind reine Sinusschwingungen mit den Kreisfrequenzen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \omega_{1}=2, \omega_{2}=4 " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.092ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 6228.9 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-956-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-956-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-956-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-956-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-956-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-956-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-956-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(655,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1336.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2392.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2892.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3336.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-956-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(655,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4673.1,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5728.9,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-956-TEX-N-34"></use></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \omega_{3}=6, \ldots, \omega_{n}=2 n, \ldots " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.302ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 10299.6 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data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1336.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2392.1,0)"><use data-c="36" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2892.1,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3336.8,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-2026"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4675.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(5120.1,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-957-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(655,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-957-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6527.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7582.9,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8082.9,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-957-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8682.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9127.6,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-957-TEX-N-2026"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und den Phasenwinkeln <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varphi_{n}=0 . " style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.405ex" height="2ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3272.8 884" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-958-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-958-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-958-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-958-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-958-TEX-N-2E" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-958-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(687,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-958-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1439,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-958-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2494.8,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-958-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2994.8,0)"><use data-c="2E" xlink:href="#MJX-958-TEX-N-2E"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Die Amplituden <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.844ex" height="1.977ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1257.3 873.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-959-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-959-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-959-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-959-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> stimmen hier mit den FourierKoeffizienten überein:</p>


<p>\[<br />(\text { für } n=1,2,3, \ldots)<br />\]</p>


<p>Die Skizze zeigt das Amplitudenspektrum der Funktion</p>


<p><img style="width: 65%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6165a151dc32ecf444f0e68e.png" alt="Abbildung" width="473" height="255" /></p>
<p>Im Periodenintervall $ 0 \leq t &lt; \pi $ gilt:</p>
<p>\[<br />f(t)=u_{0} \cdot \cos t<br />\]</p>
<p>Zerlegen Sie den im Bild dargestellten periodischen Spannungsverlauf in seine harmonischen Bestandteile (Grund- und Oberschwingungen) und bestimmen Sie das Amplitudenspektrum.</p>

<p><img style="width: 65%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6165a151dc32ecf444f0e68e.png" alt="Abbildung" width="473" height="255" /></p>
<p>Im Periodenintervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 0 \leq t < \pi " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.272ex" height="1.819ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4098.1 804" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-939-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-939-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-939-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-939-TEX-N-3C" d="M694 -11T694 -19T688 -33T678 -40Q671 -40 524 29T234 166L90 235Q83 240 83 250Q83 261 91 266Q664 540 678 540Q681 540 687 534T694 519T687 505Q686 504 417 376L151 250L417 124Q686 -4 687 -5Q694 -11 694 -19Z"></path><path id="MJX-939-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-939-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-939-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-939-TEX-I-1D461"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2472.3,0)"><use data-c="3C" xlink:href="#MJX-939-TEX-N-3C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3528.1,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-939-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
f(t)=u_{0} \cdot \cos t
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.976ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6619.2 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-940-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-940-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-940-TEX-I-1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-940-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 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<p>Zerlegen Sie den im Bild dargestellten periodischen Spannungsverlauf in seine harmonischen Bestandteile (Grund- und Oberschwingungen) und bestimmen Sie das Amplitudenspektrum.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: