Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<p>Die Fourier-Zerlegung dieser periodischen Funktion mit der Periode $ p=2 \pi $ kann wegen der Spiegelsymmetrie zur $ y $-Achse nur gerade Bestandteile enthalten. Somit ist $ b_{n}=0 \quad(n=1,2,3, \ldots) . $</p>


<p>Die Fourier-Zerlegung dieser periodischen Funktion mit der Periode <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" p=2 \pi " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.576ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2906.6 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-924-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path><path id="MJX-924-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-924-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-924-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45D" xlink:href="#MJX-924-TEX-I-1D45D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(780.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-924-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1836.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-924-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2336.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-924-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> kann wegen der Spiegelsymmetrie zur <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-925-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-925-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Achse nur gerade Bestandteile enthalten. 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" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.356ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 10765.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-926-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-926-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 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<p>Die Zerlegung enthält also keine Sinusglieder. Die Integrationen beschränken wir wegen der Spiegelsymmetrie der Funktion auf das Intervall $ 0 \leq x \leq \pi(\Rightarrow $ Faktor 2 vor den Integralen $ ) $</p>


<p>Die Zerlegung enthält also keine Sinusglieder. Die Integrationen beschränken wir wegen der Spiegelsymmetrie der Funktion auf das Intervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" 0 \leq x \leq \pi(\Rightarrow " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.892ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5698.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-927-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-927-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-927-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-927-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-927-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-927-TEX-N-21D2" d="M580 514Q580 525 596 525Q601 525 604 525T609 525T613 524T615 523T617 520T619 517T622 512Q659 438 720 381T831 300T927 263Q944 258 944 250T935 239T898 228T840 204Q696 134 622 -12Q618 -21 615 -22T600 -24Q580 -24 580 -17Q580 -13 585 0Q620 69 671 123L681 133H70Q56 140 56 153Q56 168 72 173H725L735 181Q774 211 852 250Q851 251 834 259T789 283T735 319L725 327H72Q56 332 56 347Q56 360 70 367H681L671 377Q638 412 609 458T580 514Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-927-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(777.8,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-927-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-927-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2683.3,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-927-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3739.1,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-927-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4309.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-927-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4698.1,0)"><use data-c="21D2" xlink:href="#MJX-927-TEX-N-21D2"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Faktor 2 vor den Integralen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" ) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.88ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 389 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-928-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-928-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>Berechnung des Fourier-Koeffizienten $ a_{0} $</p>


<p>Berechnung des Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{0} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.185ex" height="1.372ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 965.6 606.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-929-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-929-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-929-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-929-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />a_{0}=\frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} f(x) d x=\frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} d x=\frac{2}{\pi} \cdot \int_{0}^{\pi} x^{2} d x=\frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{\pi}=\frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3} \pi^{3}-0\right]=\frac{2}{3} \pi^{2}<br />\]</p>


<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten $ a_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) $</p>


<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.805ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8753.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-931-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-931-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 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transform="translate(8364.8,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-931-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />a_{n} &amp;=\frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot \cos (n x) d x=\frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi} x^{2} \cdot \cos (n x) d x=\frac{2}{\pi} \cdot \underbrace{\int_{0}^{\pi} x^{2} \cdot \cos (n x) d x}_{\text {Integral } 233 \text { mit } a=n}\\<br />&amp;=\frac{2}{\pi}\left[\frac{2 x \cdot \cos (n x)}{n^{2}}+\frac{\left(n^{2} x^{2}-2\right) \cdot \sin (n x)}{n^{3}}\right]_{0}^{\pi}\\<br />&amp;=\frac{2}{\pi}\left(\frac{2 \pi \cdot \cos (n \pi)}{n^{2}}+\frac{\left(n^{2} \pi^{2}-2\right) \cdot \sin (n \pi)}{n^{3}}-0-\frac{-2 \cdot \sin 0}{n^{3}}\right)=\frac{2}{\pi} \cdot \frac{2 \pi \cdot \cos (n \pi)}{n^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>(unter Berücksichtigung von $ \sin (n \pi)=\sin 0=0 $ und $ \left.\cos (n \pi)=(-1)^{n}\right) $</p>


<p>(unter Berücksichtigung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \sin (n \pi)=\sin 0=0 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.638ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8237.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-933-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z"></path><path id="MJX-933-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 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<p>\[<br />\begin{aligned}<br />f(x) &amp;=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot \cos (n x)=\frac{1}{3} \pi^{2}+4 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{\cos (n x)}{n^{2}}\\<br />&amp;=\frac{1}{3} \pi^{2}+4\left(-\frac{\cos x}{1^{2}}+\frac{\cos (2 x)}{2^{2}}-\frac{\cos (3 x)}{3^{2}}+-\ldots\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>\[<br />A_{0}=\frac{1}{3} \pi^{2}, \quad A_{n}=\left|a_{n}\right|=\frac{4}{n^{2}} \]</p>


<p><img style="width: 61%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61659fc0dc32ecf444f0e334.png" alt="Abbildung" width="449" height="212" /></p>
<p>Im Periodenintervall $ -\pi \leq x \leq \pi $ gilt: $ f(x)=x^{2} $</p>
<p>Zerlegen Sie die im Bild dargestellte periodische Funktion in ihre harmonischen Bestandteile (Fourier-Zerlegung). Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum.</p>

<p><img style="width: 61%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61659fc0dc32ecf444f0e334.png" alt="Abbildung" width="449" height="212" /></p>
<p>Im Periodenintervall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" -\pi \leq x \leq \pi " style="vertical-align: -0.312ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.668ex" height="1.751ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -636 5157.1 774" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-922-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-922-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-922-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 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fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-922-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(778,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-922-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1625.8,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-922-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2681.6,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-922-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3531.3,0)"><use data-c="2264" xlink:href="#MJX-922-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4587.1,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-922-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gilt: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" f(x)=x^{2} " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.598ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 4242.1 1083.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-923-TEX-I-1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path><path id="MJX-923-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 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<p>Zerlegen Sie die im Bild dargestellte periodische Funktion in ihre harmonischen Bestandteile (Fourier-Zerlegung). Skizzieren Sie das Amplitudenspektrum.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: