Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

<p>\[f(x) =2 \pi^{2}-4 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n}\]</p>

<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten $ \boldsymbol{c}_{n} $ (komplexe Darstellung; mit $ \left.\boldsymbol{n}=\pm \mathbf{1}, \pm \mathbf{2}, \pm 3, \ldots\right) $</p>


<p>Berechnung der Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \boldsymbol{c}_{n} " style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.308ex" height="1.377ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -451 1020.3 608.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-903-TEX-BI-1D484" d="M362 325Q362 344 371 361T390 386L399 394Q390 401 355 401Q276 401 231 338Q207 301 189 230T170 122Q170 43 264 43Q392 43 457 105Q472 120 480 117Q486 114 497 102T509 83Q509 79 502 70T477 47T432 21T360 1T259 -8Q194 -8 148 9T80 54T49 109T40 167Q40 280 129 365T352 451Q390 451 396 450Q448 442 473 416T499 358T477 302T421 274H417Q393 274 378 288T362 325Z"></path><path id="MJX-903-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D484" xlink:href="#MJX-903-TEX-BI-1D484"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(546,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-903-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> (komplexe Darstellung; mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left.\boldsymbol{n}=\pm \mathbf{1}, \pm \mathbf{2}, \pm 3, \ldots\right) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="20.194ex" 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377 364 458Q364 515 328 553T231 592Q214 592 201 589T181 584T175 580Z"></path><path id="MJX-904-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-904-TEX-N-2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path><path id="MJX-904-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 250)"></g><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D48F" xlink:href="#MJX-904-TEX-BI-1D48F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(990.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-904-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2046.6,0)"><use data-c="B1" xlink:href="#MJX-904-TEX-N-B1"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(2824.6,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="1D7CF" 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<p>\[<br />\begin{aligned}<br />c_{n} &amp;=\frac{1}{2 \pi} \cdot \int_{0}^{2 \pi} f(x) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x} d x=\frac{1}{2 \pi} \cdot 2 \pi \cdot \int_{0}^{2 \pi} x \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x} d x=\underbrace{\int_{0}^{2 \pi} x \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x} d x}_{\text {Integral } 313 \text { mit } a=-\mathrm{j} n} \\<br />&amp;=\left[\frac{-\mathrm{j} n x-1}{\underbrace{\mathrm{j}^{2} n^{2}}}_{-1} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}\right]_{0}^{2 \pi}=\left[\frac{-\mathrm{j} n x-1}{-n^{2}} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}\right]_{0}^{2 \pi}=\frac{1}{n^{2}}\left[(\mathrm{j} n x+1) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}\right]_{0}^{2 \pi}\\<br />&amp;= \frac{1}{n^{2}}[(\mathrm{j} 2 n \pi+1) \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 n}}_{1}-1 \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{0}}_{1}]=\frac{1}{n^{2}}(\mathrm{j} 2 n \pi+1-1)=\frac{1}{n^{2}} \cdot \mathrm{j} 2 n \pi=\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Hinweis: $ \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 n \pi} $ wurde nach der Eulerschen Formel berechnet $ (\rightarrow \mathrm{FS}: $ Kap. VIII.1.2.2 mit $ \varphi=2 n \pi) $ :</p>


<p>Hinweis: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 n \pi} " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.598ex" height="1.916ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -836.1 2474.4 847.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-906-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-906-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-906-TEX-N-6A" d="M98 609Q98 637 116 653T160 669Q183 667 200 652T217 609Q217 579 200 564T158 549Q133 549 116 564T98 609ZM28 -163Q58 -168 64 -168Q124 -168 135 -77Q137 -65 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(\rightarrow \mathrm{FS}: " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.764ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3431.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-907-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-907-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path><path id="MJX-907-TEX-N-46" d="M128 619Q121 626 117 628T101 631T58 634H25V680H582V676Q584 670 596 560T610 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VIII.1.2.2 mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \varphi=2 n \pi) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.155ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4046.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-908-TEX-I-1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path><path id="MJX-908-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-908-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-908-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-908-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-908-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D711" xlink:href="#MJX-908-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(931.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-908-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1987.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-908-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2487.6,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-908-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3087.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-908-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3657.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-908-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \varphi}=\cos \varphi-\mathrm{j} \cdot \sin \varphi \Rightarrow \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 n \pi}=\underbrace{\cos (2 n \pi)}_{1}-\mathrm{j} \cdot \underbrace{\sin (2 n \pi)}_{0}=1-\mathrm{j} \cdot 0=1<br />\]</p>


<p>Sonderfall $ n=0: c_{0}=\int_{0}^{2 \pi} x \cdot \mathrm{e}^{0} d x=\int_{0}^{2 \pi} x \cdot 1 d x=\int_{0}^{2 \pi} x d x=\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{2 \pi}=2 \pi^{2}-0=2 \pi^{2} $</p>


<p>Sonderfall <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n=0: c_{0}=\int_{0}^{2 \pi} x \cdot \mathrm{e}^{0} d x=\int_{0}^{2 \pi} x \cdot 1 d x=\int_{0}^{2 \pi} x d x=\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{2 \pi}=2 \pi^{2}-0=2 \pi^{2} " style="vertical-align: -0.906ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="75.082ex" height="3.311ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1062.9 33186.2 1463.3" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-910-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 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<p>Somit gilt $ c_{0}=2 \pi^{2} $ und $ c_{n}=\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}=\mathrm{j} 2 \pi \cdot \frac{1}{n} \quad $ (für $ \left.n=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\right) $.</p>


<p>Somit gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" c_{0}=2 \pi^{2} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.393ex" height="2.261ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 3709.7 999.5" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-911-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-911-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 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<p>\[<br />f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}=2 \pi^{2}+\mathrm{j} 2 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}-\frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}\right)<br />\]</p>


<p>\[a_{n}=c_{n}+c_{-n}=\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}+\mathrm{j} \frac{2 \pi}{-n}=\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}=0 \]</p>


<p>\[<br />b_{n}=\mathrm{j}\left(c_{n}-c_{-n}\right)=\mathrm{j}\left(\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}-\mathrm{j} \frac{2 \pi}{-n}\right)=\mathrm{j}\left(\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}+\mathrm{j} \frac{2 \pi}{n}\right)=\mathrm{j} \cdot \mathrm{j} \frac{4 \pi}{n}=\mathrm{j}^{2} \cdot \frac{4 \pi}{n}=-\frac{4 \pi}{n} \quad\left(\mathrm{j}^{2}=-1\right) \]</p>


<p>\begin{align}<br />f(x)&amp;=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cdot \cos (n x)+b_{n} \cdot \sin (n x)\right)=2 \pi^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(0 \cdot \cos (n x)-\frac{4 \pi}{n} \cdot \sin (n x)\right)\\<br />&amp;=2 \pi^{2}-4 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n}=2 \pi^{2}-4 \pi\left(\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin (2 x)}{2}+\frac{\sin (3 x)}{3}+\ldots\right)<br />\end{align}</p>


<p>Alternative Lösung (unter Verwendung der Formel \( \mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}=2 \mathrm{j} \cdot \sin (n x):</p>


<p>Alternative Lösung (unter Verwendung der Formel <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}=2 \mathrm{j} \cdot \sin (n x):
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="26.047ex" height="2.457ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -836.1 11512.6 1086.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-919-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-919-TEX-N-6A" d="M98 609Q98 637 116 653T160 669Q183 667 200 652T217 609Q217 579 200 564T158 549Q133 549 116 564T98 609ZM28 -163Q58 -168 64 -168Q124 -168 135 -77Q137 -65 137 141T136 353Q132 371 120 377T72 385H52V408Q52 431 54 431L58 432Q62 432 70 432T87 433T108 434T133 436Q151 437 171 438T202 441T214 442H218V184Q217 -36 217 -59T211 -98Q195 -145 153 -175T58 -205Q9 -205 -23 -179T-55 -117Q-55 -94 -40 -79T-2 -64T36 -79T52 -118Q52 -143 28 -163Z"></path><path id="MJX-919-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-919-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 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d=""></path><path id="MJX-919-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-919-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-919-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g 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xlink:href="#MJX-919-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(778,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="6A" xlink:href="#MJX-919-TEX-N-6A"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1084,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-919-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1684,0)"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-919-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5194.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-919-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6250.3,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-919-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(6750.3,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="6A" xlink:href="#MJX-919-TEX-N-6A"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7278.6,0)"><use data-c="22C5" xlink:href="#MJX-919-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" 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<p>\[<br />\begin{aligned}<br />f(x) &amp;=2 \pi^{2}+\mathrm{j} 2 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}-\frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}\right)=2 \pi^{2}+\mathrm{j} 2 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(\underbrace{\mathrm{e}^{\mathrm{j} n x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} n x}}_{2 \mathrm{j} \cdot \sin (n x)})\\<br />&amp;=2 \pi^{2}+\mathrm{j} 2 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot 2 \mathrm{j} \cdot \sin (n x)=2 \pi^{2}+\mathrm{j}^{2} 4 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n}=2 \pi^{2}-4 \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n}<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p><img style="width: 56%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6165991cdc32ecf444f0ddc0.png" alt="Abbildung" width="391" height="199" /></p>
<p>Funktionsgleichung:</p>
<p>\[<br />f(x)=2 \pi x, \quad 0 \leq x &lt; 2 \pi<br />\]</p>
<p>Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der in Bild D-15 skizzierten,,Sägezahn-Funktion" ' mit der Periode $ p=2 \pi $ und der Kreisfrequenz $ \omega_{0}=2 \pi / p=1 $ in komplexer Form. Wie lautet die reelle Reihenentwicklung?</p>

<p><img style="width: 56%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6165991cdc32ecf444f0ddc0.png" alt="Abbildung" width="391" height="199" /></p>
<p>Funktionsgleichung:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
f(x)=2 \pi x, \quad 0 \leq x < 2 \pi
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<p>Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der in Bild D-15 skizzierten,,Sägezahn-Funktion" ' mit der Periode <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" p=2 \pi " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.576ex" height="1.946ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2906.6 860" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-901-TEX-I-1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 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Wie lautet die reelle Reihenentwicklung?</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung


<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
<p><strong>Konstantenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Faktorregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Potenzregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Summenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Produktregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Kettenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$</p>
<p> </p>
<p><strong>Quotientenregel:</strong></p>
<p>$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$</p>


Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: