Anfangswertprobleme :)

Newton Verfahren

Fourierreihe

Regel von L`Hospital

Anwenden von L´Hospital

Taylorpolynome

Taylorpolynom

Taylorpolynom mit Fehlerabschätzung

Fehlerabschätzung mit Lagrange

Die Taylorreihe ist ein Taylorpolynom mit unendlich vielen Gliedern und somit eine exakte Darstellung einer Funktion ausgedrückt als Reihe.

Taylorreihe

Vollständige Induktion

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

$f(t)
=\frac{3}{4} A-\frac{2 A}{\pi^{2}}\left(\frac{\cos \left(\omega_{0} t\right)}{1^{2}}+\frac{\cos \left(3 \omega_{0} t\right)}{3^{2}}+\frac{\cos \left(5 \omega_{0} t\right)}{5^{2}}+\ldots\right)+\frac{A}{\pi}\left(\frac{\sin \left(\omega_{0} t\right)}{1}+\frac{\sin \left(2 \omega_{0} t\right)}{2}+\frac{\sin \left(3 \omega_{0} t\right)}{3}+\ldots\right)$

Alle Integrationen müssen abschnittsweise durchgeführt werden. Berechnung des Fourier-Koeffizienten $ a_{0} $

Alle Integrationen müssen abschnittsweise durchgeführt werden. Berechnung des Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{0} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.185ex" height="1.372ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 965.6 606.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-866-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-866-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-866-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-866-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[ \begin{aligned} a_{0} &amp;=\frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f(t) d t=\frac{2}{T}\left\{A \cdot \int_{0}^{T / 2} 1 d t+\int_{T / 2}^{T}\left(-\frac{2 A}{T} t+2 A\right) d t\right\}\\ &amp;=\frac{2 A}{T}\left\{\int_{0}^{T / 2} 1 d t+\int_{T / 2}^{T}\left(-\frac{2}{T} t+2\right) d t\right\}=\frac{2 A}{T}\left([t]_{0}^{T / 2}+\left[-\frac{1}{T} t^{2}+2 t\right]_{T / 2}^{T}\right)\\ &amp;=\frac{2 A}{T}\left(\frac{1}{2} T-0-T+2 T+\frac{1}{4} T-T\right)=\frac{2 A}{T}\left(\frac{1}{2} T+\frac{1}{4} T\right)=\frac{2 A}{T} \cdot \frac{3}{4} T=\frac{3}{2} A \end{aligned} \]

Berechnung der Fourier-Koeffizienten $ a_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) $

Berechnung der Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.805ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8753.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-868-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-868-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-868-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 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\[ a_{n}=\frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f(t) \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t=\frac{2}{T}\left\{A \cdot \int_{0}^{T / 2} \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t+\int_{T / 2}^{T}\left(-\frac{2 A}{T} t+2 A\right) \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t\right\} \]

\[ =\frac{2 A}{T} \cdot \underbrace{\int_{0}^{T / 2} \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{1}}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot \underbrace{\int_{T / 2}^{T} t \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{2}}+\frac{4 A}{T} \cdot \underbrace{\int_{0}^{T} \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{3}}= \]

\[ =\frac{2 A}{T} \cdot I_{1}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot I_{2}+\frac{4 A}{T} \cdot I_{3} \]

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=\frac{2 A}{T} \cdot I_{1}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot I_{2}+\frac{4 A}{T} \cdot I_{3} 
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Auswertung der Teilintegrale $ I_{1}, I_{2}, I_{3}: $

Auswertung der Teilintegrale <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I_{1}, I_{2}, I_{3}: " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.219ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 4074.8 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-872-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-872-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(876.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1321.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2197.8,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2642.4,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-872-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3796.8,0)"><use data-c="3A" xlink:href="#MJX-872-TEX-N-3A"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

Bei der Auswertung der Integrale beachten wir folgende Beziehungen:

\[ \omega_{0} T=2 \pi ; \quad \omega_{0} T / 2=\pi ; \quad \sin (2 n \pi)=\sin (n \pi)=0 ; \quad \cos (2 n \pi)=1 ; \quad \cos (n \pi)=(-1)^{n} \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\omega_{0} T=2 \pi ; \quad \omega_{0} T / 2=\pi ; \quad \sin (2 n \pi)=\sin (n \pi)=0 ; \quad \cos (2 n \pi)=1 ; \quad \cos (n \pi)=(-1)^{n}
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="84.689ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 37432.4 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-873-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-873-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-873-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 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xlink:href="#MJX-873-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(31976.6,0)"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D45B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(32576.6,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(33146.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(33813.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(34869.1,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(35258.1,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(36036.1,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(36536.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-873-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,413) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45B" xlink:href="#MJX-873-TEX-I-1D45B"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

\[ I_{1}=\underbrace{\int_{0}^{T / 2} \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{\text {Integral } 228 \text { mit } a=n \omega_{0}}=\left[\frac{\sin \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{0}^{T / 2}=\frac{\sin \left(n \omega_{0} T / 2\right)-\sin 0}{n \omega_{0}}=\frac{\sin (n \pi)-\sin 0}{n \omega_{0}}=\frac{0-0}{n \omega_{0}}=0 \]

\[ \begin{aligned} I_{2} &amp;=\underbrace{\int_{T / 2}^{T} t \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{\text {Integral } 232 \text { mit } a=n \omega_{0}}=\left[\frac{\cos \left(n \omega_{0} t\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{t \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{T / 2}^{T}\\ &amp;=\frac{\cos \left(n \omega_{0} T\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{T \cdot \sin \left(n \omega_{0} T\right)}{n \omega_{0}}-\frac{\cos \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{T \cdot \sin \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{2 n \omega_{0}}\\ &amp;=\frac{\cos (2 n \pi)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{T \cdot \sin (2 n \pi)}{n \omega_{0}}-\frac{\cos (n \pi)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{T \cdot \sin (n \pi)}{2 n \omega_{0}}=\frac{1}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{(-1)^{n}}{n^{2} \omega_{0}^{2}}=\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2} \omega_{0}^{2}} \end{aligned} \]

\[ I_{3}=\underbrace{\int_{T / 2}^{T} \cos \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{\text {Integral } 228 \text { mit } a=n \omega_{0}}=\left[\frac{\sin \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{T / 2}^{T}=\frac{\sin \left(n \omega_{0} T\right)-\sin \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{n \omega_{0}}=\frac{\sin (2 n \pi)-\sin (n \pi)}{n \omega_{0}}=0 \]

Die Fourier-Koeffizienten der Kosinusglieder lauten damit (unter Berücksichtigung von $ \omega_{0} T=2 \pi $ ):

Die Fourier-Koeffizienten der Kosinusglieder lauten damit (unter Berücksichtigung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \omega_{0} T=2 \pi " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.426ex" height="1.906ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 4166.1 842.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-877-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-877-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-877-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path><path id="MJX-877-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-877-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-877-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-877-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(655,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1058.6,0)"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-877-TEX-I-1D447"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2040.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3096.1,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-877-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3596.1,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-877-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ):

\[ \begin{align} a_{n}&amp;=\frac{2 A}{T} \cdot I_{1}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot I_{2}+\frac{4 A}{T} \cdot I_{3}=\frac{2 A}{T} \cdot 0-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{4 A}{T} \cdot 0=-\frac{4 A}{\omega_{0}^{2} T^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}} \\ &amp;=-\frac{4 A}{\left(\omega_{0} T\right)^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{4 A}{(2 \pi)^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{4 A}{4 \pi^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}=-\frac{A}{\pi^{2}} \cdot \frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}} \end{align} \]

Für gerades $ n $, d. h. $ n=2,4,6, \ldots $ ist $ (-1)^{n}=1 $ und damit $ a_{n}=0 $. Für ungerades $ n $, d. h. $ n=1,3,5, \ldots $ ist $ (-1)^{n}=-1 $ und man erhält folgende Fourier-Koeffizienten:

Für gerades <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-879-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g 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Für ungerades <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" n " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-883-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g 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transform="translate(3378.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-884-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3822.9,0)"><use data-c="35" xlink:href="#MJX-884-TEX-N-35"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4322.9,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-884-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4767.6,0)"><use data-c="2026" xlink:href="#MJX-884-TEX-N-2026"></use></g></g></g></svg></mjx-container> ist <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (-1)^{n}=-1 " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.708ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5174.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-885-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 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\[ a_{n}=-\frac{A}{\pi^{2}} \cdot \frac{1+1}{n^{2}}=-\frac{2 A}{\pi^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}} \quad(n=1,3,5, \ldots) \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
a_{n}=-\frac{A}{\pi^{2}} \cdot \frac{1+1}{n^{2}}=-\frac{2 A}{\pi^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}} \quad(n=1,3,5, \ldots)
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Berechnung der Fourier-Koeffizienten $ b_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) $

Berechnung der Fourier-Koeffizienten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" b_{n} \quad(n=1,2,3, \ldots) " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.579ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8653.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-887-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-887-TEX-I-1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 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\[ b_{n}=\frac{2}{T} \cdot \int_{(T)} f(t) \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t=\frac{2}{T}\left\{A \cdot \int_{0}^{T / 2} \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t+\int_{T / 2}^{T}\left(-\frac{2 A}{T} t+2 A\right) \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t\right\} \]

\[ =\frac{2 A}{T} \cdot \underbrace{\int_{0}^{T / 2} \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{1}}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot \underbrace{\int_{T / 2}^{T} t \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{2}}+\frac{4 A}{T} \cdot \underbrace{\int_{3 / 2}^{T} \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{I_{3}}= \]

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=\frac{2 A}{T} \cdot I_{1}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot I_{2}+\frac{4 A}{T} \cdot I_{3} 
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Auswertung der Teilintegrale $ I_{1}, I_{2} $ und $ I_{3} $ : Bei der Auswertung der Integrale beachten wir folgende Beziehungen:

Auswertung der Teilintegrale <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I_{1}, I_{2} " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.972ex" height="1.984ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 2197.8 877" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-891-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path><path id="MJX-891-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-891-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-891-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(876.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-891-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1321.2,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-891-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-891-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I_{3} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.983ex" height="1.92ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 876.6 848.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-892-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-892-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43C" xlink:href="#MJX-892-TEX-I-1D43C"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-892-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> : Bei der Auswertung der Integrale beachten wir folgende Beziehungen:

\[ \omega_{0} T=2 \pi ; \quad \omega_{0} T / 2=\pi ; \quad \sin (n \pi)=\sin (2 n \pi)=0 ; \quad \cos (2 n \pi)=\cos 0=1 \]

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\omega_{0} T=2 \pi ; \quad \omega_{0} T / 2=\pi ; \quad \sin (n \pi)=\sin (2 n \pi)=0 ; \quad \cos (2 n \pi)=\cos 0=1
" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="72.722ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 32143.1 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-893-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-893-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 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\[ I_{1}=\underbrace{\int_{0}^{T / 2} \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{\text {Integral } 204 \text { mit } a=n \omega_{0}}\left[-\frac{\cos \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{0}^{T / 2}=-\frac{\cos \left(n \omega_{0} T / 2\right)-\cos 0}{n \omega_{0}} =-\frac{\cos (n \pi)-1}{n \omega_{0}}=\frac{1-\cos (n \pi)}{n \omega_{0}} \]

\[ \begin{aligned} &amp;I_{2}=\underbrace{\int_{T / 2}^{T} t \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}=\left[\frac{\sin \left(n \omega_{0} t\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{t \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{T / 2}^{T}\\ &amp;\text { Integral } 208 \text { mit } a=n \omega_{0}\\ &amp;=\frac{\sin \left(n \omega_{0} T\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{T \cdot \cos \left(n \omega_{0} T\right)}{n \omega_{0}}-\frac{\sin \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{T \cdot \cos \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{2 n \omega_{0}}\\ &amp;=\frac{\sin (2 n \pi)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}-\frac{T \cdot \cos (2 n \pi)}{n \omega_{0}}-\frac{\sin (n \pi)}{n^{2} \omega_{0}^{2}}+\frac{T \cdot \cos (n \pi)}{2 n \omega_{0}}\\ &amp;=0-\frac{T}{n \omega_{0}}-0+\frac{T \cdot \cos (n \pi)}{2 n \omega_{0}}=\frac{-2 T+T \cdot \cos (n \pi)}{2 n \omega_{0}}=\frac{T(\cos (n \pi)-2)}{2 n \omega_{0}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} I_{3} &amp;=\underbrace{\int_{T / 2}^{T} \sin \left(n \omega_{0} t\right) d t}_{\text {Integral } 204 \text { mit } a=n \omega_{0}}=\left[-\frac{\cos \left(n \omega_{0} t\right)}{n \omega_{0}}\right]_{T / 2}^{T}=-\frac{\cos \left(n \omega_{0} T\right)-\cos \left(n \omega_{0} T / 2\right)}{n \omega_{0}}\\ &amp;=-\frac{\cos (2 n \pi)-\cos (n \pi)}{n \omega_{0}}=-\frac{1-\cos (n \pi)}{n \omega_{0}}=\frac{\cos (n \pi)-1}{n \omega_{0}} \end{aligned} \]

Damit erhalten wir für die Sinusglieder folgende Fourier-Koeffizienten:

\[ \begin{aligned} b_{n} &amp;=\frac{2 A}{T} \cdot I_{1}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot I_{2}+\frac{4 A}{T} \cdot I_{3}=\\ &amp;=\frac{2 A}{T} \cdot \frac{1-\cos (n \pi)}{n \omega_{0}}-\frac{4 A}{T^{2}} \cdot \frac{T(\cos (n \pi)-2)}{2 n \omega_{0}}+\frac{4 A}{T} \cdot \frac{\cos (n \pi)-1}{n \omega_{0}}=\\ &amp;=\frac{2 A}{n \omega_{0} T}(1-\cos (n \pi))-\frac{2 A}{n \omega_{0} T}(\cos (n \pi)-2)+\frac{2 A}{n \omega_{0} T} \cdot 2(\cos (n \pi)-1)=\\ &amp;=\frac{2 A}{n(\underbrace{\omega_{0} T})}_{2 \pi} \underbrace{(1-\cos (n \pi)-\cos (n \pi)+2+2 \cdot \cos (n \pi)-2)}_{1}=\frac{2 A}{n \cdot 2 \pi} \cdot 1=\frac{A}{\pi} \cdot \frac{1}{n} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} f(t)&amp;= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cdot \cos \left(n \omega_{0} t\right)+b_{n} \cdot \sin \left(n \omega_{0} t\right)\right)=\\ &amp;=\frac{3}{4} A-\frac{2 A}{\pi^{2}}\left(\frac{\cos \left(\omega_{0} t\right)}{1^{2}}+\frac{\cos \left(3 \omega_{0} t\right)}{3^{2}}+\frac{\cos \left(5 \omega_{0} t\right)}{5^{2}}+\ldots\right)\\&amp;+\frac{A}{\pi}\left(\frac{\sin \left(\omega_{0} t\right)}{1}+\frac{\sin \left(2 \omega_{0} t\right)}{2}+\frac{\sin \left(3 \omega_{0} t\right)}{3}+\ldots\right) \end{aligned} \]

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der in Bild D-14 skizzierten periodischen Funktion mit der Periode $ T $. und der Kreisfrequenz $ \omega_{0}=2 \pi / T $.
 
<img style="width: 57%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/61659695dc32ecf444f0d463.png" alt="Abbildung" width="419" height="228" />
Im Periodenintervall $ 0 \leq t &lt; T $ gilt:
 
\[ f(t)=\left\{\begin{array}{ccc} A &amp; &amp; 0 \leq t \leq T / 2 \\ -\frac{2 A}{T} t+2 A &amp; &amp; T / 2 \leq t &lt; T \end{array}\right\} \]

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Fourierreihe mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Anwendung der Differentialrechnung - Fourierreihe | Aufgabe mit Lösung

<h2 class="content_sub_heading">Ableitungsregeln im Überblick</h2>
Konstantenregel:
$$f(x)=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=0$$
 
Faktorregel:
$$f(x)=c \cdot g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=c \cdot g^{\prime}(x)$$
 
Potenzregel:
$$f(x)=x^{n} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$$
 
Summenregel:
$$f(x)=u(x)+v(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)$$
 
Produktregel:
$$f(x)=u(x) \cdot v(x) \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=u^{\prime}(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v^{\prime}(x)$$
 
Kettenregel:
$$f(x)=g(h(x)) \ \ \ \ \ \ \ \, \Rightarrow f^{\prime}(x)=g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$
 
Quotientenregel:
$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v^{\prime}(x)}{(v(x))^{2}}$$

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: