Stetigkeit

Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten

Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung

Hyperbel und Areafunktionen

Trigonometrische Funktionen

Exponentialfunktion, Logarithmus

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Elektrische Anlage mit Abzweigunen

Flächenträgheit

Wechselstrom

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

LR-Zerlegung mit pivotisierung 

Basis bestimmen

trigonalisierbarkeit

Fourier Koeffizienten bestimmen

Reimann-Summen

Ungleichungen 

Statik in der Ebene

Fourier-Reihen

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Rechnen mit Potenzen und Logarithmen

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>$<br />x \approx-1.0831<br />$</li>
<li>$<br />x\approx 1.6732<br />$</li>
</ol>

<p><strong>a) Lösen der Gleichung $\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{x} 2^{2 x}=4^{x / 2} / \mathrm{e}^{4}$</strong></p>


<p><strong>a) Lösen der Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\left(\mathrm{e}^{3}\right)^{x} 2^{2 x}=4^{x / 2} / \mathrm{e}^{4}" style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.176ex" height="2.812ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -893.3 8033.7 1242.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1856-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-1856-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 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<p><strong>Alternative 1:</strong> Anwendung des (natürlichen) Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung unter Benutzung der Regeln $\ln a^{b}=b \ln a, \quad \ln (a b)=\ln a+\ln b, \quad \ln (a / b)=\ln a-\ln b$</p>


<p><strong>Alternative 1:</strong> Anwendung des (natürlichen) Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung unter Benutzung der Regeln <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ln a^{b}=b \ln a, \quad \ln (a b)=\ln a+\ln b, \quad \ln (a / b)=\ln a-\ln b" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="56.414ex" height="2.497ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 24934.9 1103.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1857-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1857-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 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<p>\[x \underbrace{\ln \mathrm{e}^{3}}_{3}+2 x \ln 2=(x / 2) \ln 4-4 \]</p>


<p>Nutze $\ln 4=\ln 2^{2}=2 \ln 2 $</p>


<p>Nutze <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ln 4=\ln 2^{2}=2 \ln 2 " style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.716ex" height="2.072ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -833.9 8272.3 915.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1859-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1859-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-1859-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-1859-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-1859-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1859-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(834,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1000.7,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1778.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2834.2,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3668.2,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3834.9,0)"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(533,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5049.2,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(6105,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6771.7,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7605.7,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7772.3,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1859-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align}<br />&amp;&amp; 3 x+2 x \ln 2&amp;=x \ln 2-4 \\<br />\Rightarrow &amp;&amp; x&amp;=-\frac{4}{3+\ln 2} \approx-1.0831<br />\end{align}</p>


<p><strong>Alternative 2: </strong>Zusammenfassen von Potenzen gemäß $ a^{x} b^{x}=(a b)^{x} $ und Logarithmieren</p>


<p><strong>Alternative 2: </strong>Zusammenfassen von Potenzen gemäß <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" a^{x} b^{x}=(a b)^{x} " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.421ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5490 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1861-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1861-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-1861-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path><path id="MJX-1861-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1861-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1861-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(562,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1016.5,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(462,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2210.7,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1861-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3266.5,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1861-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3655.5,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4184.5,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D44F"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4613.5,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1861-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(422,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1861-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und Logarithmieren</p>


<p>\[<br />(\underbrace{e^{3} 2^{2} 4^{-1 / 2}}_{2 e^{3}})^{x}=e^{-4}<br />\]</p>


<p>\[<br />x \ln \left(2 \mathrm{e}^{3}\right)=-4 \quad \Leftrightarrow \quad x(\ln 2+3)=-4<br />\]</p>


<p><strong>b) Lösen der Gleichung $ \ln \sqrt{x}+\log _{2} x^{3}=1-\log _{1 / 2} x^{2} $</strong></p>


<p><strong>b) Lösen der Gleichung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \ln \sqrt{x}+\log _{2} x^{3}=1-\log _{1 / 2} x^{2} " style="vertical-align: -0.946ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="29.843ex" height="2.853ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -843 13190.8 1261.1" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1864-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1864-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 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<p>Umrechnung der Logarithmen mit $ \log _{a} b=\ln b / \ln a $</p>


<p>Umrechnung der Logarithmen mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \log _{a} b=\ln b / \ln a " style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.494ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7290.3 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1865-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1865-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 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<p>\[<br />\ln \sqrt{x}+\left(\ln x^{3}\right) / \ln 2=1-\left(\ln x^{2}\right) / \ln (1 / 2) \]</p>


<p>Mit $\ln a^{b}=b \ln a$ und $\ln (1 / a)=-\ln a $ folgt weiter</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\ln a^{b}=b \ln a" style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.16ex" height="2.117ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 5374.9 935.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1867-TEX-N-6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1867-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 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<p>Anwendung der Exponentialfunktion unter Benutzung von $ \mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \mathrm{e}^{b}, \mathrm{e}^{a b}= $ $ \left(\mathrm{e}^{a}\right)^{b}$</p>


<p>Anwendung der Exponentialfunktion unter Benutzung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \mathrm{e}^{b}, \mathrm{e}^{a b}= " style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.023ex" height="2.37ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -853.7 7524.4 1047.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1870-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-1870-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 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transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1870-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4819.5,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-1870-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(5264.2,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-1870-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1870-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(529,0)"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1870-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6746.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1870-TEX-N-3D"></use></g></g></g></svg></mjx-container> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(\mathrm{e}^{a}\right)^{b}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.673ex" height="2.755ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -967.8 2065.4 1217.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1871-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1871-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path id="MJX-1871-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-1871-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-1871-TEX-I-1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1871-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="65" xlink:href="#MJX-1871-TEX-N-65"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(477,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-1871-TEX-I-1D44E"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1290.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1871-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1712.1,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44F" xlink:href="#MJX-1871-TEX-I-1D44F"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />x^{1 / 2} x^{3 / \ln 2}=\mathrm{e} x^{2 / \ln 2} \quad \Leftrightarrow \quad x^{1 / 2+1 / \ln 2}=\mathrm{e}<br />\]</p>


<p>Auflösen nach $x$ mit Hilfe von $1 / 2+1 / \ln 2=(2+\ln 2) /(2 \ln 2)$ liefert</p>


<p>Auflösen nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="x" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1873-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1873-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> mit Hilfe von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="1 / 2+1 / \ln 2=(2+\ln 2) /(2 \ln 2)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="32.058ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 14169.8 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1874-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1874-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 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186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z"></path><path id="MJX-1874-TEX-N-6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path id="MJX-1874-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-1874-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-1874-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-1874-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(500,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1000,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1722.2,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2722.4,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3222.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3889.1,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4723.1,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4889.8,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5667.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6723.3,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(7112.3,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7834.6,0)"><use data-c="2B" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8834.8,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9668.8,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(9835.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(10335.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(10724.4,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11224.4,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(11613.4,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12280.1,0)"><use data-c="6C" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6C"></use><use data-c="6E" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-6E" transform="translate(278,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13114.1,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(13280.8,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(13780.8,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-1874-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> liefert</p>


<p>\[<br />x=\mathrm{e}^{(2 \ln 2) /(2+\ln 2)}=2^{2 /(2+\ln 2)}=4^{1 /(2+\ln 2)} \approx 1.6732<br />\]</p>

<p>Bestimmen Sie die Lösungen $ x $ folgender Gleichungen.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>$ \left(\mathrm{e}^{3}\right)^{x} 2^{2 x}=4^{x / 2} / \mathrm{e}^{4} $</li>
<li>$ \ln \sqrt{x}+\log _{2} x^{3}=1-\log _{1 / 2} x^{2} $</li>
</ol>

<p>Bestimmen Sie die Lösungen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1853-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-1853-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> folgender Gleichungen.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(\mathrm{e}^{3}\right)^{x} 2^{2 x}=4^{x / 2} / \mathrm{e}^{4} " style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.176ex" height="2.812ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -893.3 8033.7 1242.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1854-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z"></path><path id="MJX-1854-TEX-N-65" d="M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z"></path><path 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Exponentialfunktion, Logarithmus mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: