KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

<p>\[Q(x)=\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}^{2}\left(-\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}+\frac{x}{\mathrm{I}}-\frac{1}{6}\right) \]</p>
<p>\[M(x)=\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}^{2}\left(-\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}+\frac{x}{\mathrm{I}}-\frac{1}{6}\right)\]</p>
<p>\[w(x)=\frac{1}{8} \frac{1}{E \mathrm{I}} q_{0}\mathrm{I}^{4}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{4}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}\right)\]</p>

<p>Es handelt sich um ein dreifach statisch unbestimmtes System, das mit Hilfe der Integration gelöst werden kann.</p>


<p>Durch die Integration der Differentialgleichungen ergeben sich die Gleichungen für den Querkraft-, Biegemomenten-, Verdrehungs- und Biegelinienverlauf</p>


<p>\[<br />\frac{d Q}{d x}=-q(x)=-q_{0} \quad \Rightarrow Q(x)=-x q_{0}+C_{1}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{d M}{d x}=Q(x)<br />\quad \Rightarrow M(x)=-\frac{1}{2} x^{2} q_{0}+C_{1} x+C_{2}<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{d \psi}{d x}=\frac{M}{EI}<br />\quad \Rightarrow \psi(x)=\frac{1}{E \mathrm{I}}\left(-\frac{1}{6} x^{3} q_{0}+\frac{1}{2} C_{1} x^{2}+C_{2} x+C_{3}\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\frac{d w}{d x}=-\psi<br />\quad \Rightarrow w(x)=-\frac{1}{E \mathrm{I}}\left(-\frac{1}{24} x^{4} q_{0}+\frac{1}{6} C_{1} x^{3}+\frac{1}{2} C_{2} x^{2}+C_{3} x+C_{4}\right)</p>
<p>\]</p>


<p>Die Konstanten werden über die Randbedingungen bestimmt. Da es sich um ein statisch unbestimmtes System handelt, liegen keine statischen, sondern nur geometrische Randbedingungen vor</p>


<p>\[<br />\psi(0)=0<br />\quad</p>
<p>\Rightarrow C_{3}=0<br />\]</p>


<p>\[<br />w(0)=0<br />\quad </p>
<p>\Rightarrow C_{4}=0<br />\]</p>


<p>\[<br />\psi(1)=0<br />\quad </p>
<p>\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{El}}\left(-\frac{1}{6}\mathrm{I}^{3} q_{0}+\frac{1}{2} C_{1}\mathrm{I}^{2}+C_{2} \mathrm{I}+0\right)=0<br />\]</p>


<p>\[<br />\mathrm{w}(\mathrm{I})=0<br />\quad</p>
<p>\Rightarrow -\frac{1}{E \mathrm{I}}\left(-\frac{1}{24}\mathrm{I}^{4} q_{0}+\frac{1}{6} C_{1}\mathrm{I}^{3}+\frac{1}{2} C_{2}\mathrm{I}^{2}+0 x+0\right)=0<br />\]</p>


<p>Daraus ergeben sich für $\mathrm{C}_{1}$ und $\mathrm{C}_{2}$</p>


<p>Daraus ergeben sich für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathrm{C}_{1}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.621ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1158.6 855" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-980-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path><path id="MJX-980-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-980-TEX-N-43"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-980-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\mathrm{C}_{2}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.621ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1158.6 855" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-981-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path><path id="MJX-981-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-981-TEX-N-43"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-981-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\mathrm{C}_{1}=\frac{1}{2} \mathrm{q}_{0} \mathrm{l}\]</p>
<p>\[\mathrm{C}_{2}=-\frac{1}{12} \mathrm{q}_{0} \mathrm{l}^{2} <br />\]</p>


<p>Eingesetzt ergeben sich der Querkraftverlauf und Momentenverlauf sowie der Verlauf der Verdrehung und der Durchbiegung</p>


<p>\[<br />Q(x)=-\frac{1}{2} x^{2} q_{0}+\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}x-\frac{1}{12} q_{0}\mathrm{I}^{2}=\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}^{2}\left(-\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}+\frac{x}{\mathrm{I}}-\frac{1}{6}\right) \]</p>


<p>\[<br />M(x)=-\frac{1}{2} x^{2} q_{0}+\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}x-\frac{1}{12} q_{0}\mathrm{I}^{2}=\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}^{2}\left(-\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}+\frac{x}{\mathrm{I}}-\frac{1}{6}\right) <br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\psi(x)&amp;=\frac{1}{E \mathrm{I}}\left(-\frac{1}{6} x^{3} q_{0}+\frac{1}{2} \frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}x^{2}-\frac{1}{12} q_{0}\mathrm{I}^{2} x\right) \\&amp;<br />=\frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}^{3}\left(-\frac{1}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{3}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}-\frac{1}{6} \frac{x}{\mathrm{I}}\right)<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />w(x)&amp;=-\frac{1}{E \mathrm{I}}\left(-\frac{1}{24} x^{4} q_{0}+\frac{1}{6} \frac{1}{2} q_{0}\mathrm{I}x^{3}-\frac{1}{12} q_{0}\mathrm{I}^{2} x^{2}\right) \\&amp;<br />=\frac{1}{8} \frac{1}{E \mathrm{I}} q_{0}\mathrm{I}^{4}\left(\frac{1}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{4}-\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{3}+\frac{1}{3}\left(\frac{x}{\mathrm{I}}\right)^{2}\right)<br />\end{align}<br />\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Ein beidseitig eingespannter Balken (Länge $I, E I = const.) ist mit der konstanten Gleichstreckenlast \(q(x)=q_{0}$ belastet.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gesucht:</strong> Bestimmung der Schnittkaftverläufe $ Q(x) $ und $ M(x) $ und die Biegelinie $ \mathrm{w}(\mathrm{x}) $ durch Integration.</p>
<p><strong>Gegeben:</strong> $ \mathrm{I},\ q_{0},\ EI$</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/609f8e37fd648ba8097cde08.png" alt="Beidseitig eingespannter Balken mit konstanter Gleichstreckenlast q" width="318" height="161" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TM 2 Sammlung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: