KIT - Klausuren - TM2

TM 2 Sammlung

TUHH-TM2

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

QR-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

Kostenfunktion

Elementare Funktionen 

Dreisatzrechnung

Vereinfachung von Themen

Summen- und Produktzeichen

Elementargeometrie

Trägheitsmomente

Flächenträgheitsmoment

<p>\begin{align}<br />\mathrm{f}_{\mathrm{C}}&amp;</p>
<p>=\frac{q\mathrm{I}^{4}}{E a^{3} t}\left(\frac{97}{48}+\frac{3}{2} \frac{t}{a}\right) <br />\end{align}</p>

<p><strong>1. Lösungsmöglichkeit mit der Biegelinientafel</strong></p>


<p>Aus der Biegelinientafel ergibt sich die Absenkung und die Verdrehung in B</p>


<p>\[<br />\vartheta_{B}=\frac{M_{T} I}{GI_{T 1}}=\frac{4}{3} \frac{qI^{3}}{EI_{T 1}} <br />\]</p>


<p>Der elastische Anteil infolge q in Balken BC ist</p>


<p>\[<br />\mathrm{w}_{\mathrm{Cel}}=\frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{4}}{8 \mathrm{E} \mathrm{I}_{2}} <br />\]</p>


<p>Daraus ergibt sich die Gesamtverformung \( \mathrm{w}_{\mathrm{C}} \) des Lastangriffspunktes \( \mathrm{C} \)</p>


<p>Daraus ergibt sich die Gesamtverformung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{w}_{\mathrm{C}} " style="vertical-align: -0.373ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.976ex" height="1.348ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 1315.5 595.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1108-TEX-N-77" d="M90 368Q84 378 76 380T40 385H18V431H24L43 430Q62 430 84 429T116 428Q206 428 221 431H229V385H215Q177 383 177 368Q177 367 221 239L265 113L339 328L333 345Q323 374 316 379Q308 384 278 385H258V431H264Q270 428 348 428Q439 428 454 431H461V385H452Q404 385 404 369Q404 366 418 324T449 234T481 143L496 100L537 219Q579 341 579 347Q579 363 564 373T530 385H522V431H529Q541 428 624 428Q692 428 698 431H703V385H697Q696 385 691 385T682 384Q635 377 619 334L559 161Q546 124 528 71Q508 12 503 1T487 -11H479Q460 -11 456 -4Q455 -3 407 133L361 267Q359 263 266 -4Q261 -11 243 -11H238Q225 -11 220 -3L90 368Z"></path><path id="MJX-1108-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="77" xlink:href="#MJX-1108-TEX-N-77"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(755,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-1108-TEX-N-43"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> des Lastangriffspunktes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \mathrm{C} " style="vertical-align: -0.048ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.633ex" height="1.643ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 722 726" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1109-TEX-N-43" d="M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="43" xlink:href="#MJX-1109-TEX-N-43"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align}<br />\mathrm{w}_{\mathrm{C}}&amp;=\mathrm{w}_{\mathrm{B}}+\vartheta_{\mathrm{B}} \mathrm{I}+\mathrm{w}_{\mathrm{Cel}}\\&amp;=\frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{4}}{\mathrm{E}}\left(\frac{11}{24} \frac{1}{\mathrm{I}_{1}}+\frac{4}{3 \mathrm{I}_{\mathrm{T} 1}}+\frac{1}{8 \mathrm{I}_{2}}\right) <br />\end{align}</p>


<p>Die Flächenträgheitsmomente sind</p>


<p>\[ I_{1}=2 \frac{t a^{3}}{12}+2 a  t\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{2}{3} a^{3} t\]</p>


<p>\[<br />I_{T 1}=\frac{\left(2 A_{m}\right)^{2}}{\oint \frac{d s}{t}}=\frac{\left(2 a^{2}\right)^{2}}{\frac{4 a}{t}}=a^{3} t <br />\]</p>


<p>Eingesetzt ergibt sich die Absenkung zu</p>


<p>\begin{align}<br />\mathrm{f}_{\mathrm{C}}=\mathrm{w}_{\mathrm{C}}&amp;=\frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{4}}{\mathrm{E} \mathrm{a}_{3} \mathrm{t}}\left(\frac{11}{24} \frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{1}{8} 12 \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}}\right)\\&amp;=\frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{4}}{\mathrm{E} \mathrm{a}_{3} \mathrm{t}}\left(\frac{97}{48}+\frac{3}{2} \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}}\right) <br />\end{align}</p>


<p><strong>2. Lösungsmöglichkeit mit dem Arbeitssatz</strong></p>


<p>Zuerst werden die Momentenverläufe des Trägers für das Biege- und Torsionsmoment bestimmt. Dann werden die Momentenverläufe für die virtuelle Last \( \overline{1} \) im Lastangriffspunkt \( C \) bestimmt.</p>


<p>Zuerst werden die Momentenverläufe des Trägers für das Biege- und Torsionsmoment bestimmt. Dann werden die Momentenverläufe für die virtuelle Last <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \overline{1} " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.131ex" height="2.224ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -983 500 983" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1115-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-1115-TEX-N-2013" d="M0 248V285H499V248H0Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-1115-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(0,598)"><use data-c="2013" xlink:href="#MJX-1115-TEX-N-2013"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> im Lastangriffspunkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1116-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-1116-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bestimmt.</p>


<p>Der Arbeitssatz für Biegung und Torsion lautet</p>


<p>\[<br />\frac{1}{2} \overline{1} \mathrm{f}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{M} \overline{\mathrm{M}}}{\mathrm{El}} \mathrm{dx}+\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{M}_{\mathrm{T}} \overline{\mathrm{M}}_{\mathrm{T}}}{\mathrm{Gl}_{\mathrm{T}}} \mathrm{dx} <br />\]</p>


<p>Daraus ergibt sich mit Hilfe der Koppeltafel </p>


<p>\begin{align}<br />\left.\overline{1} \mathrm{f}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{1}}\left(\frac{1}{3} \frac{3}{2} \mathrm{q} \mathrm{l}^{2} \overline{1} \mathrm{I}-\frac{1}{3} \frac{\mathrm{q} \cdot \mathrm{I}^{2}}{8} \overline{1} \mathrm{\ I\ I}\right)\right)&amp;+\frac{1}{\mathrm{E} \mathrm{I}_{2}}\left(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{2}}{2} \overline{1} \mathrm{\ I\ I}-\frac{1}{3} \frac{\mathrm{q} \cdot \mathrm{I}^{2}}{8}  \overline{1} \mathrm{\ I\ I}\right)<br />\\&amp;+\frac{1}{G\mathrm{I}_{T 1}}\left(q \frac{\mathrm{I}^{2}}{2}\overline{1} \mathrm{\ I\ I}\right)<br />\end{align}</p>


<p>Mit den Flächenträgheitsmomentenund dem Torsionsträgheitsmoment  ist</p>


<p>\begin{align}<br />\mathrm{f}_{\mathrm{C}}&amp;=\frac{\mathrm{q} \mathrm{I}^{4}}{\mathrm{E}}\left[\frac{1}{\mathrm{I}_{1}} \frac{1}{2}-\frac{1}{\mathrm{I}_{1}} \frac{1}{24}+\frac{1}{\mathrm{I}_{2}}\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{24}\right)+\frac{1}{\mathrm{I}_{\mathrm{T} 1}} \frac{1}{2} \frac{8}{3}\right]\\ <br />&amp;=\frac{q\mathrm{I}^{4}}{E a^{3} t}\left[\frac{11}{24} \frac{3}{2}+\frac{1}{8} \frac{12 t}{a}+\frac{4}{3}\right]\\&amp;=\frac{q\mathrm{I}^{4}}{E a^{3} t}\left(\frac{97}{48}+\frac{3}{2} \frac{t}{a}\right) <br />\end{align}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Ein ebener, rechtwinkeliger Rahmen (Trägerlänge I) ist mit einer konstanten Gleichstreckenlast q belastet.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gesucht:</strong></p>
<p>Bestimmung der Absenkung des Punktes \( C \).</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:</strong> \( I, E, G=\frac{3}{8} E, t &lt; &lt; a, a \)</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 2;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/609f81edfd648ba8097cab8a.png" alt="Ebener, rechtwinkeliger Rahmen mit konstanter Gleichstreckenlast q" width="424" height="265" /></p>
</div>
</div>
<p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Ein ebener, rechtwinkeliger Rahmen (Trägerlänge I) ist mit einer konstanten Gleichstreckenlast q belastet.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gesucht:</strong></p>
<p>Bestimmung der Absenkung des Punktes <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.719ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 760 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1103-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-1103-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container>.</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:</strong> <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" I, E, G=\frac{3}{8} E, t < < a, a " style="vertical-align: -0.816ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="23.2ex" height="2.771ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.2 10254.3 1224.8" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1104-TEX-I-1D43C" d="M43 1Q26 1 26 10Q26 12 29 24Q34 43 39 45Q42 46 54 46H60Q120 46 136 53Q137 53 138 54Q143 56 149 77T198 273Q210 318 216 344Q286 624 286 626Q284 630 284 631Q274 637 213 637H193Q184 643 189 662Q193 677 195 680T209 683H213Q285 681 359 681Q481 681 487 683H497Q504 676 504 672T501 655T494 639Q491 637 471 637Q440 637 407 634Q393 631 388 623Q381 609 337 432Q326 385 315 341Q245 65 245 59Q245 52 255 50T307 46H339Q345 38 345 37T342 19Q338 6 332 0H316Q279 2 179 2Q143 2 113 2T65 2T43 1Z"></path><path id="MJX-1104-TEX-N-2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 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<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/609f81edfd648ba8097cab8a.png" alt="Ebener, rechtwinkeliger Rahmen mit konstanter Gleichstreckenlast q" width="424" height="265" /></p>
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<p> </p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TM 2 Sammlung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: