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Aufgabenstellung:

Abbildung

Gegeben ist eine aus zylindrischen Stäben gleichen Querschnitts (Radius aufgebaute Brücke, die durch das Eigengewicht der Stäbe belastet wird. Die Stäbe sind aus einem Material der Dichte gefertigt.
Um ein Einstürzen der Brücke zu verhindern darf die maximal zulässige Spannung von nicht überschritten werden.

Bestimmen Sie für diese Anordnung die größte Länge , so dass die zulässige Zugspannung nicht überschritten wird.

Verwenden Sie dabei die angegebene Stab- und Knotennummerierung.

Gegeben:

Lösungsweg:

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Zur Bestimmung der maximalen Stablänge a wird die maximal auftretende Zugkraft benötigt. Diese ist vom Gesamtgewicht der Brücke abhängig, das wiederum in direktem Zusammenhang zur Stablänge steht.

Das Gesamtgewicht der Brücke errechnet sich aus der Gesamtlänge der verwendeten Stäbe:

Für die schrägen Stäbe und im Fachwerk ergibt sich aufgrund der Geometrie jeweils ein Neigungswinkel von mit den zugehörigen trigonometrischen Funktionen . Die Stablänge beträgt dabei

Länge der Stäbe:

Gesamt:

Da das Fachwerk symmetrisch ist und es auch symmetrisch belastet wird gilt:

Abbildung

Die Lagerreaktionen ergeben sich zu: 

Die Verteilung der Gewichtskraft eines Stabes auf seine Knoten ist nachfolgend beispielhaft für die Stäbe 3 und 9, bzw. die Knoten und gezeigt (Skizze):

Abbildung

Knotengleichgewichte:

Knoten D:

Knoten A:

Knoten E:

Die maximale Zugspannung tritt demnach in den Stäben 1 und 2 auf

Lösung: